概率论与数理统计 第七章习题__偶数答案

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1、注意：这是第一稿（存在一些错误）第七章数理统计习题__偶数.doc4解：矩估计：µ1=⋅+⋅+⋅0θ1λ21(−−θλ)=−22θ−λ，222ν2=(22−θ−λθ)+(2θ+λ−1)λ+(2θ+λ)(1−−θλ),A=1,13B=,24⎧22−θˆ−λˆ=1,⎪故⎨2223⎪(22−θˆ−λθˆ)ˆ+(2θˆ+λˆ−1)λˆ+(2θˆ+λˆ)(1−−θˆλˆ)=.⎩4⎧ˆ1,λ=⎪⎪4解得⎨为所求矩估计。⎪θˆ=3.⎪⎩8极大似然估计：323L(θλ,)=PX{1=X4=X5=0,X2=X6=X8=2,X3=X7=1}=

2、θλ(1−−θλ)，l(θλ,)=lnL(θλ,)=3lnθ+2lnλ+3ln1(−−θλ)，⎧∂l(θλ,)33⎪=−=0,⎧ˆ3,⎪∂θθ1−−θλ⎪⎪θ=⎨8⎪∂l(θλ,)23解得⎨即为所求。⎪⎩∂=−−−=0.⎪λˆ=1.λλ1θλ⎪⎩41θθ+16解：(1)EX=∫x(θ+1)xdx=，0θ+2θˆ+1ˆ2X−1由=X得θ=为θ的矩估计量。θˆ+21−Xn⎧nθn⎪(θ+1)∏x,0

3、,)=lnL(θλ,)=⎨i=1⎪⎩0,其他。θˆ=−n−1∂l(θ)nnn令=+∑lnxi=0得∑lnxi，∂θθ+1i=1i=1n所以θ的极大似然估计为−−1。n∑lnxii=1θθˆ1(2)EX=∫xfx(,θ)dx=e2，令e2=X得θˆ=2lnX为θ的矩估计量。0n2∑(lnxi)n1−i=1L(θλ,)=∏fx(,θ)=e2θ，inni=1(2πθ)2∏xii=1n2n∑(lnxi)ni=1l(θλ,)=lnL(θλ,)=−ln2(πθ)−∑lnxi−2i=12θn2∑(lnxi)1n∂l(θ)nˆln2令=−

4、+i=1=0得θ=∑(x)为θ的极大似然估计。i∂θ2θ2θ2ni=122θ(3)EX=∫xfx(,θ)dx=，0θ+12θˆX令=X得θˆ=为θ的矩估计量。θˆ+12−Xnn⎧⎪θn2−nθ∏xθ−1,0

5、4)EX=∫xfx(,θ)dx=，令=X得θˆ=2X−100为θ的矩估计量。θ22n1L(θ)=∏fx(i,θ)=n，因0<θ<100，要使L(θ)最大，则θ应取最大。i=1(100−θ)又θ不能大于min{x,⋯,x}，故θ的极大似然估计为θˆ=min{X1,⋯,Xn}1n∞(5)EX=∫xfx(,θ)dx=0，故X=0。−∞22varX=EX=2θ，nn2ˆ21212由θ=∑(Xi−X)=∑Xi和θ>0得ni=1ni=1n2∑Xiˆi=1θ=为θ的矩估计量。2nn⎧∑Xin⎪⎪1−i=1L=∏fx,=⎨eθ,−∞

6、∞,(θ)(iθ)nni=1θ2⎪⎪⎩0,其他。则n⎧1⎪−nln2−nlnθ−∑xi,−∞

7、=1⎦i=1i=11k=则2(n−1)即为所求。222210(1)依题，X，Y与Z相互独立，ET=aES+bES+cES=(abc++)σijl1232故T是σ的无偏估计的充要条件为abc++=1242(n−1)S222σ(2)记n个样本的方差为S，则∼χ(n−1)，DS()=2σn−12424224故DS()=2σ，DS()=σ，DS()=σ123322222222⎛2bc⎞4故DT=aDS+bDS+cDS=⎜a++⎟2σ123⎝23⎠222bc要使T为最有效估计，只须使a++在abc++=1的条件下取最小值即可。232

8、22bcL=a++−λ(abc++−1)令23⎧∂L⎪=2a−λ=0,⎧1∂a⎪a=,⎪6⎪∂L⎪⎪=−bλ=0,⎪1由⎨∂b得⎨b=,即为所求。⎪∂L2c⎪3⎪=−λ=0,⎪1⎪∂c3⎪c=.⎩2⎪⎩abc++=1.⎧2x⎪,0≤x<θ,12()2，θ>0，fx,θ=⎨θ⎪⎩0,其他。∞2θ3EX=∫