对称性原理及其应用

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1、第七章对称性原理及其应用§7.1对称性及其描述7.1.1对称性1）对称性的表现在日常生活中，我们常常会遇到一些对称的现象，例如下面的事物图7-1这些对象的一些不同组成部分具有相同的形式，而且以一种协调的方式组合在一起，给人以匀称、完整、平衡和一致的感觉，产生美的享受。按照现代汉语词典的解释，对称是指图形或物体对某个点、直线或平面而言，在大小、形状和排列上具有一一对应的关系。如人体、船、飞机的左右两边，在外观上都是对称的。实际上对称性不仅可以表现在空间形式上，也可以表现在时间过程中，例如一列以均匀速度前进的客车、一个有固定周期的

2、单摆等，也会使人产生对称的感觉。在抽象的代数领域，也经常表现出对称的美。例如，我们所熟悉的二项式定理2390()1ab+=1()abab+=+222()aba+=++2abb33223()abaababb+=+++33??甚至在文学作品中，也可以表现出某种对称性，例如苏东坡的回文诗：潮随暗浪雪山倾，远浦渔舟钓月明。桥对寺门松径小，巷当泉眼石波清。迢迢远树江天晓，蔼蔼红霞晚日晴。遥望四山云接水，碧峰千点数鸥轻。和对联上海自来水来自海上，南山长生松生长山南2）对称性的概念对称性在生产与生活中，在科学与艺术中广泛地存在，表现形式多种

3、多样，它们的实质，即共同之处究竟是什么？经过人们的长期探究，总结出了对称性的的本质：变化中的不变性。具体定义如下：系统：研究的对象。研究是分学科层次的，力学研究的对象称为力学系统、热力学研究的对象称为热力学系统、化学研究的对象称为化学系统、生物学研究的对象称为生物学系统。状态：系统性质的总和，可以用反映这些性质的客观量来进行描述。一般来说，系统在不同时间、不同环境下处在不同的状态。如果在两个状态中所研究的学科性质完全相同，则称这两个状态（对于该学科）“等价”，否则为“不等价”。例如，某理想单摆在历经一个摆动周期后，所处新状态与

4、原状态的力学性质完全相同，我们可以说该力学系统的这两个状态等价，也可以说这两个状态力学等价。过程：系统状态随时间的演化。如果在过程中系统的状态始终保持等价，我们称该过程为静态过程，或者称该状态为（相对）静止状态。在静态过程中，描述系统的物理量不随时间变化，即守恒。变换：把系统从一个状态变到另一个状态的操作。若变换前后系统的状态等价，则称该变换为“对称”变换。例如，把一个正方形沿过中心的垂直轴旋转90度，所处新状态与原状态的几何性质完全相同，沿过中心的垂直轴旋转90度这个变换就是正方形这一几何系统的对称变换。因此，对称性的精确含

5、义就是系统能够在某些变换下保持状态等价的性质。例7.1-1：求出下面平面几何系统的所有对称变换240图7-2（a）图7-2（b）解：（a）图的对称变换有：绕过圆心且垂直于纸面的轴以任意角度，顺时针或者逆时针方向的转动；关于过圆心且垂直于纸面的的任意平面的镜像，相对圆心的反演。（b）图的对称变换有：绕过中心且垂直于纸面的轴作180度的转动；关于过上下对称轴或者左右对称轴且垂直于纸面的平面的镜像，相对中心的反演。上述对称性的定义是操作性的，同时也给出了对称性的表示方法，即一个系统的对称性可以用其所包含的对称变换来表示。具体地说，我

6、们可以用一个对称变换的集合来描述系统的对称性，集合中的元素越多，该系统的对称性就越高。例如，例7.1-1中图（a）不仅包含了图（b）的所有对称变换，而且还含有图（b）所不具有的对称变换，因此图（a）的对称性比图（b）高。3）对称性的分类与性质变换可以分为基本变换和复合变换。时间和空间是物质存在的基本形式，对时间和空间的操作是最基本的变换。对时间的变换有时间反演变换、时间平移变换和时间膨胀变换；对空间的变换有空间反演和镜像变换、空间平移变换、空间转动变换和空间标度变换等。在前4个空间变换下空间任意两点之间的距离保持不变，它们又统

7、称为等距变换。物理中常用的还有对时间和空间的联合变换，如伽利略变换和洛仑兹变换等。物理中常用的基本变换还有置换变换、规范变换、正反粒子共轭变换等。几个基本变换的复合也是变换，称为复合变换。复合变换的结果为相继进行几种基本变换的结果，变换之间的复合是可以结合的。2必须说明的是，变换的复合一般来说是不可交换的。例如，函数yx=的图像在对y轴空222间反演后得到yxx=−()=，再向x轴正向平移1个单位得到yx=(1−)；而同样的图像先222向x轴正向平移1个单位得到yx=−(1)，再对y轴空间反演后得到yx=(1−−=+)(1x)

8、，变换的顺序不同，得到的结果也不相同。对称变换是保持系统状态等价的变换，因此对一个系统而言，对称变换的复合也是对称变换。显然，恒等变换是对称变换；对称变换的逆变换（即把结果状态变成初始状态的变换）也241是对称变换。如果我们把复合看成是变换之间的（乘法）运算，一个系统对称变换