numerial differentiation

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1、.Chapter6NumericalDifferentiation数值微分数值导数的公式对于开发求解常微分方程（ODE）和偏微分方程（PDE）边值问题的算法很重要（参见第九章和第十章）。数值微分中经常采用已知函数为例，以便数值逼近的结果与准确值相比较。为了说明问题，考虑贝塞尔函数（theBesselfunction），它的值列表可以在标准参考书中查到。闭区间上八个等距点和。它所基于的原理是插值多项式的微分。考虑寻求。插值多项式经过三个结点和，并由此得到。这个二次多项式和它在点处的切线如图所示。如果使用五个插值点，可以得到更好的逼近。经过点和的

2、多项式，并由此得到。这个四次多项式和它在点处的切线如图所示。这个导数的准确值是，在使用和时的误差分别为和。在这一章，我们研究数值微分精确度的相关理论。此处所举例子是可查值列表的贝塞尔函数，以便进行逼近值与真值的比较。采用的方法是用与函数相应的插值多项式的导数值来近似其导数值。分别采用了二次插值多项式和四次插值多项式来近似，并计算了相应误差，显然后者近似效果优于前者。事实上，这里提供了一种近似函数导数值的方法，即用与函数相应的插值多项式的导数值来近似其导数值。还要进行的思考是，这种方法的近似效果如何？怎么提高近似精度？再就是，有没有其他的近似方

3、法？...在前面的插值理论中已经讨论过，若函数的导数在定义闭区间上一致有界，且步长，则选择较大的将得到较小的（即有误差界），从而高次逼近多项式将产生较小的误差。也讨论过高次逼近时在区间上发生的振荡（节点数增加，振荡更剧烈），即龙格现象，并提出了应对策略——分段低次插值。所以说，通过插值多项式的导数来近似函数的导数值是切实可行的，并且由于多项式求导简单易行，这种方法就显得更加方便。考虑近似精度的话，相对而言，用高次插值多项式近似误差要比低次的小，当然这是在不致引起振荡（次数不太高）的前提下。毕竟插值多项式的导出有时是很复杂的，比如三次样条插值函

4、数，需要数次求导积分并利用函数值、导数连续以及边界条件求待定系数来推倒得到，计算复杂，况且我们所需的只是逼近导数值，没有必要把插值多项式（函数的逼近）求出来，所以本节探索仅用函数值的组合去寻求导数值的近似值，这是很自然的。6.1ApproximatingTheDerivative导数的近似值6.1.1TheLimitoftheDifferenceQuotient差商的极限考虑逼近函数的导数的数值过程：这个方法看起来很直接：选取序列，使得，计算下面序列的极限：读者可能注意到我们只需要计算序列中的有限项，将作为答案。这样的问题经常被提出：为什么计

5、算？同样会问：如何取使得是的最佳逼近？为回答这个问题，我们再看一个例子，会发现为什么这不是件简单的事。例如，考虑函数，分别使用步长和去构造点和点之间的割线。当变小时，割线逼近于切线，如图6.2所示。尽管图6.2给出了处理过程的可视化表示，我们必须计算时的值去获得可以接受的数值解，而当取这个值时割线与切线的图像已不可分辨。...上面处理为的过程，目的就是一个将连续问题离散化，把问题转化为计算机可以处理的离散数据输入。下面问题是计算不能无休止地进行，只要达到一定的精度要求计算就可以停下来，也就是文中提到的有限项。从下面的例子我们还将看到，这不仅仅

6、是考虑计算必须停止所要求的，也是因为并非越小越好，太小甚至会扩大误差。例6.1设且。使用步长，其中，计算差商。精度为小数点后九位。在计算中所用到的和的值如表6.1所示。最大值不能得到好的近似，因为步长太大，使得两点分割太远，差商是经过这两点的割线的斜率，不能很好地近似切线。当以小数点后9位的精度计算公式时，根据得到近似值，根据得到近似值。如果太小，那么算得的与就非常接近。作差...时就会导致精度损失，因为两个量几乎相等了。值太小了以至于存储的值与是相等的，因此计算的差商是0。在例6.1中，极限值是。可以看到，取值可以给出最佳逼近，。从例6.1

7、看出，找到方程的数值极限并不容易。这个差商序列一开始向收敛，是最接近的，然后开始远离。程序6.1中表明，当时序列中的项停止计算。这是为了在项开始远离极限值之前，决定最佳逼近。将这个判定条件应用到例6.1中，有，因此是我们选择的答案。现在我们开始讨论如何根据较大的值得到合理精度的近似值公式。也就是说，太大，割线不能很好地近似切线，但是也不能太小，否则由于精度损失，反而使误差增大。上面的例子已经显示出，求的极限的数值近似解时，选择适当的的重要性。在表格6.1中最后一列看到，在时最接近真实值，然后逐渐远离。其实，将相邻的两两作差，可以发现，这个差值

8、是由大变小，又由小变大的，所以必定存在，使得，这个就是所求。在实际的程序操作中，便可把上面的不等式，作为迭代运算停止的判定条件。说完了存在性，那么为什么要以作为判定