高中数学第二章平面向量24向量的应用例题与探究新人教b版必修

《高中数学第二章平面向量24向量的应用例题与探究新人教b版必修》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、2.4向量的应用典题精讲例1用向量法证明平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和.思路分析:考查应用向量解决几何问题.把平行四边形的边和对角线的长看成向量的长度，转化为证明向量长度Z间的关系.基向量法和坐标法均可解决.解：已知：四边形ABCD是平行四边形，求证：

2、AC

3、2+

4、BD

5、2=2

6、AB

7、2+2

8、AD

9、2.证法一：如图2-4-1所示，设A3二a,AD二b,图2-4-1AC=AB+AD二a+b,BD=AD—AB=b-a.

10、AC12=(a+b)2=a2+2a•b+b‘,BD12=(b-a)

11、2=a2-2a・b+b2.：.AC2^BD

12、2=2a2+2b又・.・2

13、AB

14、'+21AD

15、2=2a+2b2,:.AC^BD2=2AB2^AD\即平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和.证法二：如图2-4-2所示，以A为原点，以AB所在直线为x轴，建立直角坐标系.设A(0,0)、D(a,b)、B(c,・•・AC=AB+AD=OB+OD=(cf0)+(a,b)=(a+c,b),BD=AD-AB二OD—OB=(a,b)-(c,O)=(a-c,b).

16、AC12=(c+a)

17、2+b2,

18、BD2=(a-c)2+b2.

19、AC

20、2+

21、BD12=2a2+2c2+2b2.又・.・2

22、AB

23、2+2

24、AD

25、2=2

26、OB

27、2+2

28、OD

29、2=2a2+2c2+2b2,:.AC2+BD2=2AB'^2AD2f即平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和.绿色通道：（1）向量法解决儿何问题的步骤：①建立平面儿何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的儿何元素，将平面儿何问题转化为向量问题；②通过向量运算（有基向量法和坐标法两种），研究几何元素之间的关系；③把运算结果“翻译”

30、成儿何关系.这是用向量法解决平面儿何问题的“三步曲”，又简称为：一建二算三译；也可说成为：捡便宜（建算译）.（2）平面几何经常涉及距离、夹角的问题.而平面向量的运算，特别是数量积主要涉及向量的模及向量的夹角.因此，我们可以用向量方法解答几何问题.在具体问题中，先用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素，然后通过向量的运算,特别是数量积來研究点、线段等几何元素Z间的关系，最后将结论转化为儿何问题.变式训练如图2-4-3所示,AC、BD是梯形ABCD的对角线,BC>AD,E、F分别为BD、AC的中点

31、.试用向量证明EF〃BC.思路分析:证明EF〃BC,转化为证明EF//BC,选择向量基底或建立坐标系均可解决.证法一：（基向量法）设AD=b,则有BD=AD-AB=b-a.・・•AD//BCf・••存在实数X>1使BC二入AD=Xb.■]*1・・・E为BD的中点，・・・BE=-BD=-(b-a).22•・・F为AC的中点，*A—*'•l°—*1*°1°°1°°•••BF=BC+CF=BC+—CA=BC+-{BA-BO-(BA+BC)=-(BC—AB)二2222—(A,b~a).2■■■1111•

32、••EF=BF-BE=-(Xb-a)--(b-a)=(-X—)b.2222:.~EF=[(丄—丄)•丄]況.22/1・・・EF//BC.AEF/7BC.证法二：（坐标法）如图2-4-4所示，以BC为x轴，以B为原点建立平面直角坐标系,则B（0,0）.设A(a,b),D(c,b),・・・E(£,◎),F(W22:.EF=^d2…a+d-c2,2).22b、zcb、,a+d—c.777;z1八一)一(一，一)=(,0),BC=(d,0).222XO—dXO二0,・•・EF//BC.・・・EF〃BC.

33、例2如图2-4-5,一艘船从A点出发以2品km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2km/h,求船的实际航行速度的大小与方向（用与流速间的夹角表示）.CB思路分析:考查向量在物理中的应用.船的实际航行速度是船的速度与水流速度的合速度，用平行四边形法则合成即可.解:设AD=a表示船垂直于对岸行驶的速度，AB=b表示水流的速度，以AD、AB为邻边作平行四边形ABCD,则4C就是船的实际航行速度，即AC=a+b,Ia

34、=2V3,

35、b

36、二2,a・b=O,IAC12=(a+b)2=aJ+2a

37、•b+bi=16,即

38、AC

39、=4.•・•AC・AB=(a+b)・b=a・b+b2=4,AC•AB4•Icos

40、AC

41、

42、AB

43、2x42又・・・0°W〈AC,AB〉W180°,・・・〈AC,AB〉=60°,即船的实际航行速度的大小为4km/h,方向与水流速度I'可的夹角为60°.绿色通道:用向量法解决物理问题的步骤(类似于用向量方法解决平面几何问题的步骤)：(1)把物理问题中的量用向量來表示；(2)将物理问题转化为向量问题，通过向暈运算解决数学问题；(3)把结果还原为物