西安交大超有用的高数总结

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1、西安交通大学考试题成绩等数学2系别考试日期年月日专业班号姓名学号期屮□期末□Ox+2讥+21.交换积分次序:］〃吐2/(xj)dy+£dx^2f(x,y)dyo［计算困难的累次积分时，往往需交换积分次序；而换序的核心是作出积分区域的草图，再考虑“常数加穿线”］2.计算：jj(x2+cosxsiny)d(j,其中D为单位圆内部闭区域。⑴)［被积函数的奇偶性，轮换性，积分区域的对称性的应用］3•计算：J

2、

3、ylx2+y2+z2dV,其中Q%z=jF+y2,z=y/2-x2-y2围成(⑵的空间闭区域。［旋转面内的三重积分一般采用先二后一的方法(“切土豆片”)，注意时

4、常需要分段积分］4.计算：xOy坐标平面内，质量面密度为定值。的圆盘x^y20为常数。［考虑点到直线的距离公式，高中数学的重点］5•质量密度均匀的半球壳x2+y2+z2=Rz>0的质心在何处？［计算形心、质心坐标时，首先确定使用何种积分，如本题应使用第一型面积分；再考虑积分区域的对称性］6•计算：Jxyds,其中L为平面上单位圆位于第一象限的部分。(L)［化复杂的多元函数积分为定积分、二重积分，是计算的基本思路之一。注意积分上下限、被积函数、积分变量各自的变化方法］7.计算：Jexsinydx+(e

5、xcosy+^x)dy,其中L为以A(0,0)与B(厶)(2a,0)的连线段为一条直径的圆的上半圆周，但由A至B。(a>0)［本题意在使用Gwen公式，使用时要注意：积分路径闭合吗(是否要补线)？积分路径是正向(逆时针)的吗？偏导数在积分路径所围的区域内，处处存在吗(有无奇点)？］8.一质点在平面力场F=(2xy3-y2cosx)z+(1-2ysinx4-3x2y2)j的作用下，沿曲线L：2x=7ry2由(0,0)点运动至(仝,1)点。在此过程中，力场做了多少功？［力场做功问题，大家都偏爱保守力场，往往能够验证线积分与路径无关；此时，采用特殊路径法与原函数法都很

6、好］9.计算：和驾畔，其中L为椭圆周兰+£=1。士甘49［这就是多连域内的Green公式应用，可先将积分路径“闭路变形”,再将被积函数化简至处处连续，使用Green公式］7.计算：jj—,其中工为球面x2+y2+z2-a2在z二h（0

7、（tz>0）内的面积。［由于柱面与xOy坐标面正交，可考虑在投影曲线上作第一型线积分,大大化简计算过程］11.计算：

8、

9、x2dyAdz+y2dzAdx+z2dxAdy,其中S为圆柱面（S）兀2+歹2"2@〉0）被平面乙二°与沪1截得的部分，月•其法向量在（a,0,0）点与x轴正向同向。［笫二型面积分最常用的计算方法显然是Gauss公式，它是Green公式在三维空间中的推广。使用时同样注意：积分曲面闭合吗（是否要补面）？积分曲面是正向（朝外）的吗？偏导数在曲面所围的空间闭区域内，处处存在吗（有无奇点）？］12.设曲面工：x2+y2+z2=a2（a>0）外法线的方向

10、余弦分别为cosa,cos0,cosY，计算旺(兀cosa+ycos0+zcosy)〃S。(工)［注意笫一型、笫二型面积分的互化关系，再使用Gauss公式］16•计算场刁=(»,)/,刊的散度与旋度。［切记散度是数量，旋度是向量］17.求场A=(x24-yz,y2+zx-2yz3,z2+xy-3y2z2)的势函数u。［求势函数一般需要作两次“偏积分”，但“凑微分”的方法是最快的,核心是观察各分量中的“独立项”与“齐次项”］18.工为疋中的二维单连域(G)内的一个闭曲而。已知空间场瓜在(G)内有连续的二阶偏导数，求证：mtA-dS=0o(-1)［本题首先需要明确概

11、念：二维单连域是为Gauss公式服务的，而为Stokes公式服务的是一维单连域。若对“旋度无源”的结论很熟悉，即div(rotA)=0,则可迅速完成本题］19.已知y}=x.y2=x+ey3=l+x+^v是微分方程+y*4-a2(x)y=Q(x)的三个解，求方程的通解。［对线性微分方程(组)的结构定理，应该熟练掌握。它与线性代数知识是一样的。二阶非齐次微分方程两特解之差，正是对应的二阶齐次微分方程的特解；而二阶齐次微分方程，只能有两个线性无关解，构成基础解系］-<1-33、17.求齐次线性微分方程组^=Ax的通解，其中A：3-53。dt16-64；［考试时难免

12、遇到一些“个性”的系数矩