西安交大高数1-1

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1、第一节映射与函数一、集合二、映射三、函数四、小结一、集合二、映射三、函数一、集合1.集合:具有某种特定性质的事物的总体.组成这个集合的事物称为该集合的元素.有限集无限集数集分类:N----自然数集Z----整数集Q----有理数集R----实数集数集间的关系:例如不含任何元素的集合称为空集.例如,规定空集为任何集合的子集.集合的运算（1）集合的并（2）集合的交（3）集合的差（4）集合的补集合的运算律（1）交换律：（2）结合律：（3）分配律：（4）摩根律：2.区间:是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点.称为开区间,称为闭区

2、间,称为半开区间,称为半开区间,有限区间无限区间区间长度的定义:两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.3.邻域:4.常量与变量:在某过程中数值保持不变的量称为常量,注意常量与变量是相对“过程”而言的.通常用字母a,b,c等表示常量,而数值变化的量称为变量.常量与变量的表示方法：用字母x,y,t等表示变量.5.绝对值:运算性质:绝对值不等式:二、映射1映射概念设是两个非空集合，如果存在一个法则,使得对于中每个元素，按法则在中有唯一确定的元素与之对应，则称为从到的映射，记作其中称为元素（在映射下）的像，并记作，即而元素称为元素（在映射下）的

3、一个原像；集合称为映射的定义域，记作，即；中所有元素的像所组成的集合称为映射的值域，记作或，即从上述映射的定义中，需要注意的是：（1）构成一个映射必须具备以下三个要素：集合，即定义域；集合，即值域的范围：；对应法则，使对每个，有唯一确定的与之对应.（2）对每个，元素的像是唯一的；而对于每个，元素的原像不一定是唯一的；映射的值域是的一个子集，即，不一定.满射、单射与双射设是从集合到集合的映射，若，即中任一元素都是中某元素的像，则称为到上的映射或满射；若对中任意两个不同元素，它们的像，则称为到的单射；若映射既是单射又是满射，则称为一一映射（或双射

4、）2.逆映射与复合映射设是从集合到集合的映射，则由定义，对每个有唯一的，适合.于是，可以定义一个从到的新映射，即对每个，规定，这满足.这个映射称为的逆映射，记作，其定义域，值域注意：只有单射才存在逆映射.复合映射：设有两个映射其中.则有映射可以定义一个从的对应法则，它将每个映成.显然，这个对应法则确定了一个从的映射，这个映射称为映射构成的复合映射，记作，即注意：的值域必须包含在的定义域内，即因变量自变量数集D叫做这个函数的定义域三、函数自变量因变量对应法则f函数的两要素:定义域与对应法则.约定:定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.

5、定义:如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫与多值函数．(1)符号函数几个特殊的函数举例1-1xyo(2)取整函数y=[x][x]表示不超过的最大整数12345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyo阶梯曲线有理数点无理数点•1xyo(3)狄利克雷函数(4)取最值函数yxoyxo在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的式子来表示的函数,称为分段函数.例1解故M-Myxoy=f(x)X有界无界M-MyxoX（1）．函数的有界性:2、函数的特性（2）函数的单调性:oxyxyo（3）函数的

6、奇偶性:偶函数xyxo-x奇函数yxox-x（4）函数的周期性:（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.例2解单值函数,有界函数,偶函数,周期函数(无最小正周期)不是单调函数,DWDW3、反函数与复合函数(1)反函数设函数直接函数与反函数的图形关于直线对称.（2）、复合函数定义:注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.(1)幂函数4.初等函数(2)、指数函数(3)、对数函数(4)、三角函数正弦函数余弦函数正切函数余切函数正割函数余割函数(5)、反三角函数幂函数,指数函数,对数函数,

7、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.初等函数由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.例3解综上所述奇函数.偶函数.双曲函数奇函数,有界函数,双曲函数常用公式反双曲函数奇函数,奇函数,四、小结基本概念集合,区间,邻域,常量与变量,绝对值.函数的概念函数的特性有界性,单调性,奇偶性,周期性.反函数、复合函数、初等函数思考题思考题解答设则故练习题练习题答案