年月温州第七届青少年数学国际城市邀请赛团体赛试题与解答简体.doc

《年月温州第七届青少年数学国际城市邀请赛团体赛试题与解答简体.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、高考网www.gaokao.com2006WenzhouInvitationalWorldYouthMathematicsIntercityCompetition2006青少年数学国际城市邀请赛队际赛试题2006/7/12温州市队名：___________________得分：__________________1.老师说：“要在一个三边长为2，2，2x的三角形内部放置一个尽可能大的圆，则正实数x的值该是多少？”学生A说：“我想x＝1.”学生B说：“我认为.”学生C说：“你们回答都不对！”他们三人谁的回答是正确的？为什么？解答：一方面三角形的面积＝；

2、另一方面，该三角形底边上的高为，所以三角形面积.可得.当时，；当时，.取，则，所以是一个更好的选择.所以学生C的回答正确.注：当时，可取到r的最大值.2.一个三角形可被剖分成两个等腰三角形，原三角形的一个内角为36˚，求原三角形最大内角的所有可能值.解答：不妨设B＝36˚.（1）若剖分线不过点B.不妨设剖分线为AD，此时△BAD是或者的三角形.若△BAD是的三角形，则△CAD或者是第一个图，或者是第二个图，或者第三、四个图.（2）若剖分线过点B.不妨设为BE，则△CBE必定是，△ABE是的三角形.所以原三角形的最大内角可能是.3.四个单位正方形以边对

3、边相连接而成，可以拼成如图五种不同的形状.用一片“L”形(图中第一个)分别与其余四个中的一片拼成轴对称图形，请绘出所有可能之组合.解答：高考网www.gaokao.com高考网www.gaokao.com1.一片骨牌是由两个单位正方形以边对边相连接而成，在每个正方形内标记上数字1、2、3、4或5，所以我们共可得标号为11，12，13，14，15，22，23，24，25，33，34，35，44，45，55的15片不同的骨牌.将这15片骨牌排成一个如图的5×6的长方形，每片骨牌的边界已经擦除，请试着把这些骨牌的边界重新画出来.解答：首先，注意到编号为55

4、的骨牌一定是在矩形的中心，而编号22的骨牌只能是在右边界处.此时，右上角编号为3的骨牌必与右侧的2一起组成编号为23的骨牌..所以，右下角的2只能与5一起组成编号为25的骨牌，而这个2上面的3只能组成33骨牌..所以，可在图中，把剩下的33、23对之间用一条线分隔.第三行的3只能与其上的5组成35编号的骨牌.如左图.这时，第一行的5不能与其左侧的3组成35编号的骨牌，只能与其下的1组成编号为15的骨牌.这使得左侧只能为13、34编号的骨牌，这样，左上角的骨牌为11和24.在右下角，必须出现编号为12的骨牌，此时，其余的骨牌也就确定了.2.“幸运数”是

5、指一个等于其各位数码(十进制)和的19倍的正整数，求出所有的幸运数.解答：设10a＋b是一个至多两位数，方程10a+b=19(a+b)仅当a=b=0时成立.所以，所有的幸运数至少是三位数.假设一个幸运数有m位数，，则该数至少为，其数码和至多为9m，所以，.当m=4时，不成立.而，更不成立.因此，所有的幸运数都是三位数，由100a+10b+c=19a+19b+19c，知9a=b+2c.当a=1时，可得(b，c)=(1，4)，(3，3)，(5，2)，(7，1)，(9，0).当a=2时，可得(b，c)=(0，9)，(2，8)，(4，7)，(6，6)，(8，

6、5).当a=3时，可得(b，c)=(9，9).当a>3时，无解.所以共有11个幸运数：114,133,152,171,190,209,228,247,266,285和399.高考网www.gaokao.com高考网www.gaokao.com1.甲和乙在一个n´n的方格表中做填数游戏，每次允许在一个方格中填入数字0或者1（每个方格中只能填入一个数字），由甲先填，然后轮流填数，直至表格中每个小方格内都填了数.如果每一行中各数之和都是偶数，则规定为乙获胜，否则当作甲获胜.请问：(1)当n＝2006时，谁有必胜的策略？(2)对于任意正整数n，回答上述问题.

7、解答：(1)当n=2006时，后填数的乙有必胜策略.用1´2的多米诺骨牌对表格进行分割，使得每一行都由1003块多米诺组成，当甲对某块多米诺的一个中填数时，乙也在该多米诺中填数，并且使得这块多米诺中两个数之和为偶数.依此策略，乙可以使得表格的每一行中各数之和都是偶数.故乙获胜.(2)当n为偶数时，同上述操作，可知乙有必胜策略；当n为奇数时，甲有必胜策略：他可以先在第1行第1列的方格中写上1，然后对第1行中其余方格作前面的多米诺分割，采取同样的操作方式，可使表格中第1行中各数之和为奇数.2.设n为任意奇正整数，证明：+能被2006整除.证明：因为，所以

8、为证结论成立，只需证为奇正整数时，能被2，17，59整除.显然，表达式能被2整除.应用公式，为奇数时，，.则