年月温州第七届青少年数学国际城市邀请赛团体赛试题与解答繁体.doc

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1、高考网www.gaokao.com2006WenzhouInvitationalWorldYouthMathematicsIntercityCompetition2006青少年數學國際城市邀請賽隊際賽試題2006/7/12溫州市隊名：___________________得分：__________________1.老師說：「要在一個三邊長為2，2，2x的三角形內部放置一個盡可能大的圓，則正實數x的值該是多少？」學生A說：「我想x＝1。」學生B說：「我認為。」學生C說：「你們回答都不對！」他們三人誰的回答是正確的？為什麼？解答：一方面三角形的面積＝；另一

2、方面，該三角形底邊上的高為，所以三角形面積。可得。當時，；當時，。取，則，所以是一個更好的選擇。所以學生C的回答正確。註：當時，可取到r的最大值。2.一個三角形可被剖分成兩個等腰三角形，原三角形的一個內角為36˚，求原三角形最大內角的所有可能值。解答：（1）若剖分線不過點B。不妨設剖分線為AD，此時△BAD是或者的三角形。若△BAD是的三角形，則△CAD或者是第一個圖，或者是第二個圖，或者第三、四個圖.（2）若剖分線過點B。不妨設為BE，則△CBE必定是，△ABE是的三角形。所以原三角形的最大內角可能是。3.四個單位正方形以邊對邊相連接而成，可以拼成如圖

3、五種不同的形狀。用一片“L”形(圖中第一個)分別與其餘四個中的一片拼成軸對稱圖形，請繪出所有可能之組合。解答：高考网www.gaokao.com高考网www.gaokao.com1.一片骨牌是由兩個單位正方形以邊對邊相連接而成，在每個正方形內標記上數字1、2、3、4或5，所以我們共可得標號為11，12，13，14，15，22，23，24，25，33，34，35，44，45，55的15片不同的骨牌。將這15片骨牌排成一個如圖的5×6的長方形，每片骨牌的邊界已經擦除，請試著把這些骨牌的邊界重新畫出來。解答：首先，注意到編號為55的骨牌一定是在矩形的中心，而編

4、號22的骨牌只能是在右邊界處。此時，右上角編號為3的骨牌必與右側的2一起組成編號為23的骨牌.。所以，右下角的2只能與5一起組成編號為25的骨牌，而這個2上面的3只能組成33骨牌.。所以，可在圖中，把剩下的33、23對之間用一條線分隔.第三行的3只能與其上的5組成35編號的骨牌.如左圖。這時，第一行的5不能與其左側的3組成35編號的骨牌，只能與其下的1組成編號為15的骨牌。這使得左側只能為13、34編號的骨牌，這樣，左上角的骨牌為11和24。在右下角，必須出現編號為12的骨牌，此時，其餘的骨牌也就確定了。2.“幸運數”是指一個等於其各位數碼(十進位)和的

5、19倍的正整數，求出所有的幸運數。解答：設10a＋b是一個至多兩位數，方程10a+b=19(a+b)僅當a=b=0時成立。所以，所有的幸運數至少是三位數。假設一個幸運數有m位數，，則該數至少為，其數碼和至多為9m，所以，。當m=4時，不成立。而，更不成立。因此，所有的幸運數都是三位數，由100a+10b+c=19a+19b+19c，知9a=b+2c。當a=1時，可得(b，c)=(1，4)，(3，3)，(5，2)，(7，1)，(9，0)。當a=2時，可得(b，c)=(0，9)，(2，8)，(4，7)，(6，6)，(8，5)。當a=3時，可得(b，c)=(9

6、，9)。當a>3時，無解。所以共有11個幸運數：114,133,152,171,190,209,228,247,266,285和399。3.甲和乙在一個n´n的方格表中做填數遊戲，每次允許在一個方格中填入數字0或者1（每個方格中只能填入一個數字），由甲先填，然後輪流填數，直至表格中每個小方格內都填了數。如果每一行中各數之和都是偶數，則規定為乙獲勝，否則當作甲獲勝。請問：高考网www.gaokao.com高考网www.gaokao.com(1)當n＝2006時，誰有必勝的策略？(2)對於任意正整數n，回答上述問題。解答：(1)當n=2006時，後填數的乙有

7、必勝策略。用1´2的多米諾骨牌對表格進行分割，使得每一行都由1003塊多米諾組成，當甲對某塊多米諾的一個中填數時，乙也在該多米諾中填數，並且使得這塊多米諾中兩個數之和為偶數。依此策略，乙可以使得表格的每一行中各數之和都是偶數。故乙獲勝。(2)當n為偶數時，同上述操作，可知乙有必勝策略；當n為奇數時，甲有必勝策略：他可以先在第1行第1列的方格中寫上1，然後對第1行中其餘方格作前面的多米諾分割，採取同樣的操作方式，可使表格中第1行中各數之和為奇數。1.設n為任意奇正整數，證明：+能被2006整除。證明：因為，所以為證結論成立，只需證為奇正整數時，能被2，17

8、，59整除。顯然，運算式能被2整除。應用公式，為奇數時，，。則由於，，所以能被5