数本一班张瑞

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1、数形结合思想在高考中的应用张瑞（数学与应用数学）摘要：纵观近几年的高考题，在高考题中运用数型结合思想进行解题可使抽象的数学问题更直观，可起到事半功倍的效果。从分值上来看，高考题总分150分，运用数型结合思想解题分值占了一半以上，从题量上看数型结合题型贯穿了“选择题”、“填空题”、“简答题”，可见，从分值和题量上看，数形结合思想占有重要的地位；从近几年高考题的知识点分析，它存在一定的对应关系，例如：函数图象的对应关系、曲线方程的对应关系、直线与圆的对应关系、实数与数轴上的点的对应关系、以几何元素和几何条件为背景建立起来的概念，如复数、三角函数等。数形结合的题型

2、在近几年的高考题中基本保持不变，于是今后几年的高考题中的数型结合有可能保持不变，于是注重数型结合题型的练习，有助于自身的提高。关键词：高考、数形结合、问题转化，取值范围、直观性，恒成立，单调函数，图像性质，抽象18/18目录一、引言二、数形结合的介绍1、数形结合思想的方法概述2、数形结合的历史发展三、数形结合在教学中的应用1、数形结合思想在高中教学的重要性2、数形结合在高考中的一些应用四、数形结合思想在高考中的发展趋势五、举例运用数形结合思想解题技巧六、数形结合思想的局限性七、数形结合思想应注意的几个问题18/18一、引言近年来，一些省份高考试卷中，可以用数

3、形结合思想方法来解决的问题占卷面总分的百分比重很大，用数形结合思想方法来解决的题在试卷选择题、填空题和大题都有出现，而且出现的概率很高，应该受到重视，同时也说明数形结合是高考中的一个热点，在平时训练的时候就应该加强记忆，从而能够熟练的掌握它。早在数学萌芽时期，人们在度量长度、面积和体积的过程中，就把数和形联系起来了。我国宋元时期，系统地引进了几何问题代数化的方法，用代数式描述某些几何特征，把图形之间的几何关系表达成代数式之间的代数关系。17世纪上半叶，法国数学家笛卡儿以坐标为桥梁，在点与数对之间、曲线与方程之间建立起来对应关系，用代数方法研究几何问题，从而创

4、立了解析几何学。后来，几何学中许多长期不能解决的问题，例如立方倍积、三等分任意角、化圆为方等问题，最终也借助于代数方法得到了完满的解决。即使在近代和现代数学的研究中，几何问题的代数化也是一条重要的方法原则，有着广泛的应用。　　初等数学历来被划分为代数和几何两大分支,前者偏重于数的分析,而后者则偏重于形的研究.但是今天人们越来越认识到:仅有代数的思想而无图形的直观,或者虽然有直观的图形而缺少数据的分析,许多数学问题都难以高质有效的解决.形是数的翅膀,数是形的灵魂.华罗庚先生曾指出:“数缺形时少直观,形少数时难入微.数形结合百般好,隔裂分家万事休”。但在在运用数

5、形结合思想分析和解决问题时，也要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。数与形是中学数学研究的两类基本对象，相互独立，又互相渗透。尤其在坐标系建立以后数与形的结合更加紧密，而且在数学应用中若就数而论，缺乏直观性，若就形论缺乏严密性，当二者结合往往可优势互补，收到事半功倍的效果。18/18一、数形结合思想的概述及历史演变1、数形结合思想概述数形结合是一个数学思想方法，包含“以形

6、助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结

7、论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合。如：锐角三角函数的定义是借助于直角三角形来定义的；任意角的三角函数是借助于直角坐标系或单位圆来定义的。恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。”数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到

8、解决。“数”与“形”是一对矛盾，宇宙间万物无不是“数