高一数学函数的单调性和奇偶性

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1、第十二课时函数的单调性和奇偶性【学习导航】学习要求：1、熟练掌握函数单调性，并理解复合函数的单调性问题。2、熟练掌握函数奇偶性及其应用。3、学会对函数单调性，奇偶性的综合应用。【精典范例】一、利用函数单调性求函数最值例1、已知函数y=f(x)对任意x,y∈R均为f(x)+f(y)=f(x+y)，且当x>0时，f(x)<0,f(1)=－.(1)判断并证明f(x)在R上的单调性；(2)求f(x)在[－3，3]上的最大、小值。思维分析：抽象函数的性质要紧扣定义，并同时注意特殊值的应用。解：(1)令x=y=0，f(0)

2、=0，令x=－y可得：f(－x)=－f(x)，在R上任取x10，所以f(x2)－f(x1)=f(x2)+f(－x1)=f(x2－x1).因为x10。又因为x>0时f(x)<0，所以f(x2－x1)<0，即f(x2)

3、例2、求函数y=的单调区间，并对其中一种情况证明。思维分析：要求出y=的单调区间，首先求出定义域，然后利用复合函数的判定方法判断.解：设u=x2－2x－3，则y=.因为u≥0，所以x2－2x－3≥0.所以x≥3或x≤－1.因为y=在u≥0时是增函数，又当x≥3时，u是增函数，所以当x≥3时，y是x的增函数。又当x≤－1时，u是减函数，所以当x≤－1时，y是x的减函数。所以y=的单调递增区间是[3,+∞)，单调递减区间是(－∞，－1]。证明略三、利用奇偶性，讨论方程根情况例3、已知y=f(x)是偶函数，且图象与x

4、轴四个交点，则方程f(x)=0的所有实根之和是()A.4B.2C.0D.不知解析式不能确定思维分析：因为f(x)是偶函数且图象与x轴有四个交点，这四个交点每两个关于原点一定是对称的，故x1+x2+x3+x4=0.答案：C四、利用奇偶性，单调性解不等式例4、设f(x)是定义在[－2，2]上的偶函数，当x≥0时，f(x)单调递减，若f(1－m)

5、m与m同号；1－m与m异号两种情况，列四个不等式组，计算非常繁琐，但考虑到偶函数f(x)=f(

6、x

7、)，可将问题转化为只考虑x>0时的情况，从而使问题简单化。解：因为函数f(x)在[－2,2]上是偶函数，则由f(1－m)

8、1－m

9、)

10、m

11、).又x≥0时，f(x)是单调减函数，所以。解之得：－1≤m<.追踪训练1、函数f(x)=的值域是()A.[，+∞)B.(－∞，]C.(0,+∞)D.[1,+∞)答案：A2、下列函数中，在区间(－∞，0)上为增函数的是()A.y=1+B.y=－(x+1)

12、2C.y=D.y=x3答案：D3、设f(x)在R上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增，且有f(2a2+a+1)

13、x∈R且x≠±1}，若f(x)+g(x)=，则f(x)=________,g(x)=__________答案：f(x)=，g(x)=.5、函数f(x)=是定义在(－1，1)上的奇函数，且f()=.(1)确定函数f(x)的解析式；(2)用定义证明f(x)在(－1，1)上是增函数；(3

14、)解不等式f(t－1)+f(t)<0；答案：(1)f(x)=(2)证明略(3)0