中考数学复习例题教学的有效性

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1、中考数学复习例题教学的有效性浙江省金华四中童桂恒例题教学是初三数学复习课的关键之一，它的有效性直接影响着课堂教学的有效性。如何避免就题论题，克服题海训练的低效例题教学的弊端，实现素质教育提出的育人目标，贯彻新课程的课堂教学理念，一方面需要精选例题，明确所选例题的目的，另一方面需要在例题的教学过程中，加强解题方法的比较，实施开放变式的研究，突出命题结论的应用，把课堂教学资源应用到极至，以期通过一个例题的课堂教学，使学生掌握一类问题的解决方法，并在问题的提出和解决过程中，实现数学能力和创新能力的提高。一、众法寻优对于一个典型的例题，不仅具有

2、巩固所学知识的作用，更有优化思维品质的功能。因此，教学中教师需要引导学生在掌握通性通法的基础上，深刻分析命题条件的特殊性，使学生在问题的解决过程中对命题条件有本质的认识，从而达到会解一类题的目的。例1如图1，在△ABC中，AB=AC，P为BC上的一动点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC垂足分别为D，E。CF为AB边上的高线。求证：PD+PE=CF。分析：这是平面几何中常见的一个典型问题，其常规的解法是截长补短法。但题设条件的特殊性：（1）等腰三角形；（2）PD、PE、CF都是垂线段，是否还有更为简捷的证法呢？图1图1—1图1--2证法1（

3、截长法）如图1-1，过点P作PH⊥FC于点H。容易证明四边形DPHF是矩形。∴PD=FH。也容易证得Rt△PEC≌Rt△CHP，∴PE=CH。∴PD+PE=FH+CH=CF。证法2（截长法）如图1-2，过点D作DK∥BC交CF于点K。则易证四边形DPCK是平行四边形。∴PD=CK，DK=PC。∵DK∥BC，∴∠FDK=∠B=∠PCE。又∵∠DFK=∠CEP=90°。∴Rt△DFK≌Rt△CEP。∴FK=PE。∴PD+PE=CK+FK=CF。证法3（补短法）如图1-3，过点C作CGDP，交点P的延长线于点G。容易证得四边形DGCF是矩形。

4、∴FC=DG=PD+PG。∴CG∥AB。∴∠PCG=∠B=∠∠ACP。∴Rt△PGC≌Rt△PEC。∴PG=PE。∴FC=PD+PE。证法4（面积割补法）如图1-4，连结AP。5图1—3图1--4∵=AB·PD，=AC·PE，=AB·CF，而+=，∴AB·PD+AC·PE=AB·CF。又∵AB=AC，∴PD+PE=CF。证法5（三角函数法）如图1，在Rt△PBD，Rt△PCF，Rt△BCF中，分别有：PD=PBB，PE=PCC，FC=BCB。又∵AB=AC，∴∠B=∠C，B=C。∴PD+PE=PBB+PCC=（PB+PC）B=BCB=F

5、C。证法6（比例化归法）如图1，容易证明Rt△PBD∽Rt△CBF。∴=（1）∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∴Rt△PCE≌Rt△CBF∴=（2）（1）+（2）得+=+===1。∴PD+PE=CF。解法比较：证法1-3都是求证“一条线段等于另外两条线段和”问题的通法，蕴涵了解决这类问题的基本策略；证法4-6充分利用了题设条件的特殊性，如证法4—面积割补法，这是由高线想到的；证法5—三角函数法，这是由等腰三角形两底角相等想到的；证法6—比例化归法，这是由三个三角形都是相似三角形想到的。其中由高想到面积既是本例的特殊解法，更是所有这些解法

6、中的本质解法。二、研究变式在例题的教学过程中，仅满足于一题多解是不够的，开展变式研究，把研究性学习落实到课堂教学之中，对典型问题进行变通推广、探索引申、提炼升华，这是增强例题教学有效性非常行之有效的手段，它不仅能使学生在学习过程中重新认识和构建新知，而且恰当合理的变式研究活动，有利于营造一种宽松互动的教学氛围，激活学生的创新思维和提升学生对数学的积极情感，达到“通过解一题会做一类题”的事半功倍的教学效果。5变式1如图2，在△ABC中，AB=AC，点P在BC的延长线上，过点P作PE⊥AC，交AC延长线于E点，过点P作PD⊥AB于点D，CF

7、是AB边上的高线。那么PD，PE和CF存在什么关系？写出你的猜想并加以证明。（略解：存在如下关系：PD-PE=CF。连结AP，∵=-，∴AB·PD-AC·PE=AB·CF，又∵AB=AC，∴PD-PE=CF。）图2图3图4变式2如图3，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，点P为BC边上的一点，PE⊥AB，PF⊥CD，BG⊥CD，垂足分别为E，F，G。（1）求证：PE+PF=BG；（2）若P是CB延长线上的一点，其它条件不变，那么PE，PF，BG之间有何关系？证明你的结论。（略解：（1）延长BA，CD相交于点G，则△GBC是等腰

8、三角形，仿例题即可证得；（2）有结论PF-PE=BG，证明仿变式1即可得证。）变式3如图4，在△ABC中，AB=AC=3，点P是BC边上的一个动点（不与点B、C重合），PE∥AB，PF∥AC，分别交AC、A