组合和二项式定理

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1、莆薆膅罿蚄薆袄芅薀薅羇肈蒆薄聿芃莂薃蝿肆芈蚂袁芁薇蚁羃肄蒃蚀肆芀葿蚀袅肃莅虿羈莈芁蚈肀膁薀蚇螀莆蒆蚆袂腿莁螅羄莅芇螄肇膇薆螄螆羀薂螃羈膆蒈螂肁聿莄螁螀芄芀螀袃肇蕿蝿羅节蒅袈肇肅莁袈螇芁芇袇衿肃蚅袆肂荿薁袅膄膂蒇袄袄莇莃蒁羆膀艿蒀肈莅薈蕿螈膈蒄薈袀莄莀薇羃膇莆薆膅罿蚄薆袄芅薀薅羇肈蒆薄聿芃莂薃蝿肆芈蚂袁芁薇蚁羃肄蒃蚀肆芀葿蚀袅肃莅虿羈莈芁蚈肀膁薀蚇螀莆蒆蚆袂腿莁螅羄莅芇螄肇膇薆螄螆羀薂螃羈膆蒈螂肁聿莄螁螀芄芀螀袃肇蕿蝿羅节蒅袈肇肅莁袈螇芁芇袇衿肃蚅袆肂荿薁袅膄膂蒇袄袄莇莃蒁羆膀艿蒀肈莅薈蕿螈膈蒄薈袀莄莀薇羃膇莆薆膅罿蚄薆袄芅薀薅羇肈蒆薄聿芃莂薃蝿肆芈蚂袁

2、芁薇蚁羃肄蒃蚀肆芀葿蚀袅肃莅虿羈莈芁蚈肀膁薀蚇螀莆蒆蚆袂腿莁螅羄莅芇螄肇膇薆螄螆羀薂螃羈膆蒈螂肁聿莄螁螀芄芀螀袃肇蕿蝿羅节蒅袈肇肅莁袈螇芁芇袇衿肃蚅袆肂荿薁袅膄膂蒇袄袄莇莃蒁羆膀艿蒀肈莅薈蕿螈膈蒄薈袀莄莀薇羃膇莆薆膅罿蚄薆袄芅薀薅羇肈蒆薄聿芃莂薃蝿肆芈蚂袁芁薇蚁羃肄蒃蚀肆芀葿蚀袅排列、组合和二项式定理1.两个原理.（1）分类计数原理和分步计数原理是排列组合的基础和核心，既可用来推导排列数、组合数公式，也可用来直接解题。它们的共同点都是把一个事件分成若干个分事件来进行计算。只不过利用分类计算原理时，每一种方法都可能独立完成事件；如需连续若干步才能完成的则

3、是分步。利用分类计数原理，重在分“类”，类与类之间具有独立性和并列性；利用分步计数原理，重在分步；步与步之间具有相依性和连续性。比较复杂的问题，常先分类再分步,分类相加，分步相乘.（2）一个模型：影射个数若A有年n个元素，B有m个元素，则从A到B能建立个不同的影射①n件不同物品放入m个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？（解：种）②四人去争夺三项冠军，有多少种方法？③从集合A={1，2，3}到集合B={3，4}的映射f中满足条件f（3）=3的影射个数是多少？④求一个正整数的约数的个数（3）含有可重元素的排列问题.对含有相同元素求排列个数的方法是：设重

4、集S有k个不同元素a1，a2,…...an其中限重复数为n1、n2……nk，且n=n1+n2+……nk,则S的排列个数等于.如：已知数字3、2、2，求其排列个数又例如：数字5、5、5、求其排列个数？其排列个数.2.排列数中、组合数中.(1)排列数公式；。如（1）1！+2！+3！+…+n！（）的个位数字为（答：3）；（2）满足的＝（答：8）(2)组合数公式；规定，.如已知，求n，m的值（答：m＝n＝2）(3)排列数、组合数的性质：①；②；从n个不同元素中取出m个元素后就剩下n-m个元素，因此从n个不同元素中取出n-m个元素的方法是一一对应的，因此是一样多

5、的就是说从n个不同元素中取出n-m个元素的唯一的一个组合.（或者从n+1个编号不同的小球中，n个白球一个红球，任取m个不同小球其不同选法，分二类，一类是含红球选法有一类是不含红球的选法有）根据组合定义与加法原理得；在确定n+1个不同元素中取m个元素方法时，对于某一元素，只存在取与不取两种可能，如果取这一元素，则需从剩下的n个元素中再取m-1个元素，所以有C，如果不取这一元素，则需从剩余n个元素中取出m个元素，所以共有C种，依分类原理有.③；④；⑤；⑥.(4)常用的证明组合等式方法.①裂项求和法.如：（利用）n.n!=(n+1)!-n!②导数法.③数学归

6、纳法.④倒序求和法.一般地：已知等差数列{an}的首项a1，公差为d，a1C＋a2C＋a3C＋…＋an＋1C=（2a1＋nd)·2n-1．⑤递推法（即用递推）如：.⑥构造二项式.如：证明：这里构造二项式-144-其中的系数，左边为，而右边.更一般地：ACBD3.解排列组合问题的依据是：分类相加（每类方法都能独立地完成这件事，它是相互独立的，一次的且每次得出的是最后的结果，只需一种方法就能完成这件事），分步相乘（一步得出的结果都不是最后的结果，任何一步都不能独立地完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事，各步是关联的），有序排列，无序组合．如（1

7、）将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有种（答：）；（2）从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型与乙型电视机各一台，则不同的取法共有种（答：70）；（3）从集合和中各取一个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中能确定不同点的个数是___（答：23）；（4）72的正约数（包括1和72）共有个（答：12）；（5）的一边AB上有4个点，另一边AC上有5个点，连同的顶点共10个点，以这些点为顶点，可以构成_____个三角形（答：90）；（6）用六种不同颜色把右图中A、B、C、D四块区域分开，允许同一颜色涂不同区域，但相邻区域不能是同一种颜色，则共有

8、种不同涂法（答：480）；（7）同室4人各写1张贺年卡，然后每人从中拿1张别人送出的贺年卡，则