数学物理方程-第四章积分变换法

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1、第四章积分变换法积分变换法是求解偏微分方程的一种基本方法.不仅如此，在自然科学和工程技术的许多领域也有着广泛应用.本章介绍Fourier变换在求解偏微分方程定解问题中的应用.主要以一维热传导方程，一维波动方程及平面上的Laplace方程为主.对于高维情形，由于计算过程要复杂一些，故只做简单介绍，也不做过多要求.§41热传导方程Cauchy问题4.1.1一维热传导方程Cauchy问题考虑如下问题下面利用Fourier变换求解该定解问题.设为常数，函数的Fourier变换为(1.3)为书写方便起见，引入记号,如果为二元函数，表示对中的空间

2、变量作Fourier变换的像函数，此时作为参数对待.对（1.1）—（1.2）关于空间变量作Fourier变换得上面是一阶线性常微分方程的初值问题，解之可得(1.4)利用（1.3）得记（1.5）其中为单位阶跃函数.则有123利用上面结果将（1.4）改写为(1.6)对（1.6）两边取Fourier逆变换，并利用Fourier变换卷积公式便得(1.7)（1.7）即为定解问题（1.1）—（1.2）的解.在的表达式（1.7）中，函数起着一个基本作用.如果令，，则有因此，是如下问题的解而和分别是下面两问题的解由于知道了就可直接写出（1.1）—（1

3、.2）的解（1.7）式.类似于求解线性方程组，其中为矩阵.如果知道该齐次方程组的一个基解组，则方程的任一解可由基解组的线性组合表出.因此，的作用就相当于向量空间中的基，故称为定解问题（1.1）—（1.2）的基本解(fundamentalsolution).基本解是线性微分方程的一个很重要的概念，不仅可以表示Cauchy问题的解，也可用来构造Green函数表示边值问题的解.基本解有明确的物理解释.若在初始时刻时在123处置放一单位点热源，则此单位点热源在轴上产生的温度分布便是.类似地，若在初始时刻时在处置放一单位点热源，则此点热源在轴上

4、产生的温度分布为.而将初始时刻变为时，其温度分布就是.注1在（1.1）—（1.2）解的表达式（1.7）中，如果将其中的第一项和第二项分别记为和，则是相应于时齐次方程的解，而是相应于时非齐次方程的解.若记，则由齐次化原理可知.另外，和表达式中的卷积形式类似，也可表示成某种卷积形式，请同学们试给出这一表示形式.例1.1求解如下定解问题其中均为常数.解对（1.14）（1.15）关于作Fourier变换得解之可得(1.16)为了求函数的Fourier逆变换，利用配方法将其改写为由于利用Fourier变换的位移性质得取得123故有其中记其中为单

5、位阶跃函数.即为定解问题（1.14）—（1.15）的基本解.将（1.16）改写为.,求Fourier逆变换得如果将（1.15）中的齐次方程改为非齐次方程，考虑如下定解问题请同学们写出该定解问题的解.例1.2求解如下定解问题其中123解由（1.7）可得该问题的解为对积分作变量代换得引入下面函数（1.17）该函数称为误差函数.利用误差函数可得.4.1.2二维热传导方程Cauchy问题为加深对线性微分方程基本解的进一步理解,下面再求解二维热传导方程Cauchy问题为求解(1.19)—(1.20)，先求二维热传导方程的基本解,即如下定解问题的

6、解引入二元函数的Fourier变换和一元函数Fourier变换的性质相对应，二元函数的Fourier变换也有类似性质.对(1.20)-(1.21)关于空间变量作Fourier变换得123其中.解之可得.故有即(1.18)-(1.19)的基本解为与（1.7）相对应，（1.20）—（1.21）的解为作为练习，同学们试用Fourier变换求解三维热传导方程Cauchy问题.§42波动方程Cauchy问题4．2．1一维波动方程Cauchy问题考虑如下定解问题若记（2.3）—（2.4）的解为，则由叠加原理和齐次化原理可得（2.1）—（2.2）的

7、解为(2.5)因此，只须求解定解问题（2.3）—（2.4）.对（2.3）—（2.4）关于空间变量作Fourier变换得123解之可得记查Fourier变换表或直接计算可得故有对上式取Fourier逆变换并利用卷积公式得.利用（2.5）便得（2.1）—（2.2）的解为(2.6)当时，（2.6）称为一维波方程Cauchy问题的达朗贝尔（D’Alembert）公式.注1在（2.4）中取，则有，即是如下定解问题的解，称其为一维波动方程的基本解.利用基本解，就可写出（2.1）—123（2.2）的解（2.6）式.在（2.6）的表达式中也起到一个“

8、基”的作用.4.2.2二维和三维波动方程Cauchy问题下面，首先利用Fourier变换求解三维波动方程Cauchy问题,然后用降维法求出二维波动方程Cauchy问题的解.考虑三维波动方程Cauchy问题为求解定解问题(