《函数的求导法则》doc版

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2、莀蚇衿芃蒂袃螅节蚄蚅膄节莄羁肀芁蒆螄羆芀蕿罿袂艿蚁螂膁芈莁薅肇莇蒃螀羃莆薅薃衿莆芅蝿袅莅蒇蚁膃莄薀袇聿莃蚂蚀羅莂莂袅袁蒁蒄蚈膀蒀薆袃肆蒀蚈蚆羂葿莈袂羈肅薀螅袄肄蚃羀膂肃莂螃肈肃蒅羈羄肂薇螁袀膁虿薄腿膀荿蝿肅腿薁薂肁膈蚄袈羇膇莃蚀袃膇蒆袆膁膆薈虿肇膅蚀袄羃芄莀蚇衿芃蒂袃螅节蚄蚅膄节莄羁肀芁蒆螄羆芀蕿罿袂艿蚁螂膁芈莁薅肇莇蒃螀羃第二节函数的求导法则教学目的：1.使学生掌握函数的和、差、积、商的求导法则；2使学生掌握反函数的导数法则、复合函数的求导法则；3使学生熟练掌握初等函数的求导公式。教学重点：初等函数的求导

3、公式、复合函数的求导法则教学过程：一、函数的和、差、积、商的求导法则定理1：若函数和在点都可导，则在点也可导，且。证明：==所以。注1：本定理可推广到有限个可导函数上去。2：本定理的结论也常简记为。定理2：若和在点可导，则在点可导，且有。证明：====即。注1：若取为常数，则有：；2：本定理可推广到有限个可导函数的乘积上去，例如：等。定理3：若都在点可导，且，则在点也可导，且。证明：===即注1：本定理也可通过，及的求导公式来得；2：本公式简化为；3：以上定理1~3中的，若视为任意，并用代替，使得函数的和、

4、差、积、商的求导函数公式。【例1】设，求。解：。【例2】设，求。解：。【例3】二、反函数的导数法则定理1：设为的反函数，若在的某邻域内连续，严格单调，且，则在（即点有导数），且。证明：所以。注1：，因为在点附近连续，严格单调；2：若视为任意，并用代替，使得或，其中均为整体记号，各代表不同的意义；3：和的“′”均表示求导，但意义不同；4：定理1即说：反函数的导数等于直接函数导数的倒数；5：注意区别反函数的导数与商的导数公式。【例1】求的导数，解：由于，是的反函数，由定理1得：。注1：同理可证：；2：。【例2】

5、求的导数。解：利用指数函数的导数，自己做。三、初等函数的求导公式1、常数和基本初等函数的求导公式：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）（13）（14）（15）（16）（17）（18）（19）（20）（21）（22）四、复合函数的求导法则复合函数的求导问题是最最常见的问题，对一复合函数往往有这二个问题：1.是否可导？2.即使可导，导数如何求？复合函数的求导公式解决的就是这个问题。定理2（复合函数求导法则）：如果在点可导，且在点也可导，那么，以为外函数，以为内函数，所复

6、合的复合函数在点可导，且，或证明：==所以。注1：若视为任意，并用代替，便得导函数：，或或。2：与不同，前者是对变量求导，后者是对变量求导，注意区别。3：注意区别复合函数的求导与函数乘积的求导。4：复合函数求导可推广到有限个函数复合的复合函数上去，如：等。【例1】求的导数。解：可看成与复合而成，，，。【例2】求（为常数）的导数。解：是，复合而成的。所以。这就验证了前面§2、1的[例4]。由此可见，初等函数的求导数必须熟悉(i)基本初等函数的求导；(ii)复合函数的分解；(iii)复合函数的求导公式；只有这样

7、才能做到准确。在解题时，若对复合函数的分解非常熟悉，可不必写出中间变量，而直接写出结果。【例5】，求。解：。【例6】，求。解：。【例7】，求。解：==。【例8】，求。解：。【例9】，即。同理，。【例10】，求。解：。同理：。小结：1、函数的四则运算的求导法则：设，则(i)(ii)(iii)(iv)2、复合函数的求导法则：设的导数为：或或薁螀螈肃薀蒀羃罿蕿薂螆莈蕿螄肂芄薈袇袄膀薇薆肀肆薆虿袃莄蚅螁肈芀蚄袃袁膆蚃薃肆肂芀螅衿肈艿袇膅莇芈薇羇芃芇虿膃腿芆螂羆肅芆袄蝿莄莅薄羄芀莄蚆螇膆莃袈羂膂莂薈袅肈莁蚀肁莆莀螃袃

8、节莀袅聿膈荿薅袂肄蒈蚇肇羀蒇蝿袀艿蒆葿肆芅蒅蚁羈膁蒄螃膄肇蒄袆羇莅蒃薅蝿芁蒂蚈羅膇薁螀螈肃薀蒀羃罿蕿薂螆莈蕿螄肂芄薈袇袄膀薇薆肀肆薆虿袃莄蚅螁肈芀蚄袃袁膆蚃薃肆肂芀螅衿肈艿袇膅莇芈薇羇芃芇虿膃腿芆螂羆肅芆袄蝿莄莅薄羄芀莄蚆螇膆莃袈羂膂莂薈袅肈莁蚀肁莆莀螃袃节莀袅聿膈荿薅袂肄蒈蚇肇羀蒇蝿袀艿蒆葿肆芅蒅蚁羈膁蒄螃膄肇蒄袆羇莅蒃薅蝿芁蒂蚈羅膇薁螀螈肃薀蒀羃罿蕿薂螆莈蕿螄肂芄薈袇袄膀薇薆肀肆薆虿袃莄蚅螁肈芀蚄袃袁膆蚃薃肆