一类反应扩散方程组的零能控性

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1、硕士学位论文一类反应扩散方程组的零能控性THENULL-CONTROLLABILITYOFSOMEREACTION-DIFFUSIONSYSTEMS时盛竹哈尔滨工业大学2015年7月国内图书分类号：O231.4学校代码：10213国际图书分类号：517.9密级：公开理学硕士学位论文一类反应扩散方程组的零能控性硕士研究生：时盛竹导师：孙杰宝申请学位：理学硕士学科：计算数学所在单位：数学系答辩日期：2015年7月授予学位单位：哈尔滨工业大学ClassifiedIndex:O231.4U.D.C:517.9Dissert

2、ationfortheMasterDegreeinScienceTHENULLCONTROLLABILITYOFSOMEREACTION–DIFFUSIONSYSTEMSCandidate：ShiShengzhuSupervisor：SunJiebaoAcademicDegreeAppliedfor：MasterofScienceSpeciality：ComputationalMathematicsAffiliation：DepartmentofMathematicsDateofDefence：July,2015D

3、egree-Conferring-Institution：HarbinInstituteofTechnology哈尔滨工业大学理学硕士学位论文摘要自然界中的很多现象都可以用反应扩散方程组来描述，这些方程组的能控性研究也显得越来越重要，本文研究了一类含梯度项的非线性反应扩散方程组在内部一个任意小的区域上施加控制函数时的零能控性。本文首先考虑该非线性方程组所对应的线性方程组，给出了这类线性方程组解的存在性、唯一性和正则性。在此基础上构造相应的泛函，利用该泛函的极小元来给出控制函数，而泛函极小元的存在性依赖于该线性方程组

4、的对偶方程组的能观性估计。在证明能观不等式时，由于所考虑的方程组中含有梯度项，经典的Carleman不等式不再适用，本文对此不等式进行改进。最终，证明了该线性系统在内部一个任意小的区域上施加两个控制函数时是零能控的。进一步，减少控制函数的个数是控制理论的一个重要研究部分。可以发现，控制函数个数的减少可以通过改进Carleman不等式来实现，为此本文对该线性方程组施加一些限制条件，在方程的Carleman不等式的基础上，给出了方程组的Carleman不等式，从而证明在内部一个任意小的区域上只施加一个控制函数时该系统也

5、是零能控的。另一方面，“虚拟函数法”也是一种减少控制函数个数的有效方法，本文在施加两个控制时方程组的零能控性结论的基础上，利用“虚拟函数法”，亦证明了当该方程组满足一定条件时，仅施加单一控制函数，该线性方程组也是零能控的。最后，将原来的非线性方程组线性化，结合Schauder不动点定理，证明了上述有关线性方程组的零能控性结论对于相应的非线性方程组也是成立的，从而证明了本文的主要结论。关键词：反应-扩散方程组；零能控性；单一控制；Carleman不等式-I-哈尔滨工业大学理学硕士学位论文AbstractThereac

6、tion-diffusionsystemsarewildlyexistintherealworldandtheinvestigationofthesesystemsisbecomingmoreandmoreimportant.Inthispaper,weinvestigatethenull-controllabilityofsomenonlinearreaction-diffusionsystemswhosenonlinearityinvolvinggradientterm.Firstofall,weconside

7、rthelinearsystemassociatedtothenonlinearsystemandpresenttheexistence,theuniquenessandtheregularityofthelinearsystem.Weconstructarelativefunctionalandbytheminimalelementofthefunctional,wecangivethecontrolfunctionssuchthatthesystemtobenull-controllable.Inadditio

8、n,theexistenceoftheminimalelementisbasedontheobservabilityestimateoftheadjointsystem.Toprovetheobservabilityinequality,wemodifyaCarlemaninequalitytofitourcasewiththegradientterm.Fi