广义线性模型的广义最小一乘估计

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1、大连理工大学硕士学位论文1广义最小一乘估计1．1广义最小一乘估计准则假设未知参数向量卢有界，对(H，x1)，(玢，x2)⋯．，(K，％)设相应的观测值为(Yl,z1)，(耖2，z2)⋯．，(鲰，zn)，取参数向量p的估计为：，庞=arg黯∑[口(执一F(19Txi))++(1一Q)(班一F(firxi))一]，0<口

2、值风是其内点；(ii)设E有密度函数，E(t)，分布函数足(亡)，且^(o)>0，足(o)=or；mt)对任何一个低维超平面H，P(x∈H)：0；(切)设X有界，E⋯

3、)，当最(o)=Ot，且五(o)>0时，0是H(b1的唯一的最小值点．设s(∥)=E[a(Y—F(矿x))++(1一Q)(y—F(pTx))一】，岛(p)=三喜[a(K—F(pT噩))++(1一a)(K—F(pT％))一】．5广义线性模型的广义最小一乘估计由于s(p)=E[a(Y—F(p1x))++(1一oO(Y—F(卢1x))一]=aE[F(届Tox)一F(19Tx)+y(席x)￡]++(1一oOE[F(届ToX)一F(prx)+y(解x)司一=aE[E((F(j3ToX)一F(ZTx)+y(藤x)E)+Ix)]--t-(1一oOE[E((F(届Tx)一F

4、(p?x)十y(解x)￡)一Ix)】=aE[y(席啪((盥铲刊+)]+(1--Or)E[y(zorx)E((兰垡盗吾铲+s)一)】=驯懈础(型铲)]'由假设(ii)及前面的推导可知，在几乎处处意义下，当F(ZTX)=F(Z?X)时，s(卢)取到最小值，再由F(·)的单调性及假设(iii)可知，卢=风，所以励是S(卢)唯一的最小值点．我们称反为广义最小一乘估计．关于&(卢)、s(p)及庞的相合性，我们有下面的命题和定理．命题1．1．假设(i)一(iv)成立，F(．)是占阶日况der连续函数，0<6≤l，则s．up．I晶(p)一s(p)l叶o，凸．8．口∈e。证

5、明：首先对每一个固定的p，由大数定律可知：&(钟=丢喜陋(K—F(pT五))++(1一口)(M—F(pT五))一]一s(p)=E[口(y—F(卢Tx))++(1一cO(Y—F(flrx))一]．另外对V卢l，尾有，因为岛(fh)一晶(尾)I=

6、1)一＆池)I≤丢妻i=1QIF(卢}托)一FI⋯mTX。、I+丢耋(1二Q)IF(p}五)一F(砑凰)I2去∑IF(p}五)一F(鳄咒)l，(1．1)因为F(-)是6阶HSlder连续函数，所以对任意的Yl，Y2，有：IF(y1)一F(y2)ISLlyl一y216，其中L是一个正常数．设A=E(IIXl旧，由大数定律得：去∑㈣占一层㈣116n．s．，从而对于几乎所有的样本点u，存在Ⅳ∞)，当礼≥Ⅳp)时，有I麦剐冠肛AI≤2A，即得：熹．IIX,116≤3A从而当扎≥Np)时，不等式(1．1)变为：I岛溉)一岛(侥)}≤’L∑IlXdl6IIp1一庞116

7、≤3LA

8、

9、风一危旷．(1．2)因为参数空间O是有界闭集，所以对V￡>0，有((9LA)一1￡)吾一网{p1⋯．，风)，对每个p∈O，j岛，使得II8—0j116<。9L二A，于是对每个p∈0，I岛，Ⅳp)，使得当n>Ⅳ∞)时，有．15k(p)一岛(岛)I≤3LAII卢一岛116<专．同理可知：s(f1)一S(岛)I=

10、X))一I≤o,FqF(ZrX)一F(ZTx)l+(