华中科技大学概率论 (1)

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1、第四章随机变量的数字特征§1数学期望引言问题：如何比较各班大学英语四级考试成绩的优劣？方案一：通过各班的最高分进行比较．方案二：通过各班的最低分进行比较．方案三：通过各班的平均分进行比较．引言随机变量的分布函数能够完整地描述随机变量的统计特性.在一些问题中，我们往往只关心随机变量与数值有关的某些特征．这些特征虽然不能完整地描述随机变量，但在理论和实践上都具有重要的意义．例如：在评定某一地区粮食产量的水平时，主要关心该地区的平均亩产量；研究水稻品种的优劣时，时常关心稻穗的平均稻谷粒数;检查一批棉花的质量

2、时，既需要注意纤维的平均长度，也要注意纤维长度与平均长度的偏离程度．常见的数字特征：数学期望、方差、相关系数和矩．例：•对技术熟练的射手甲X012e2p00.20.8ke1e•对新手乙0Y012游戏规则：p0.60.30.1k落在e区域得0分；0落在e区域得1分；哪一个人的射击水平较高？1落在e区域得2分.2例：设X的分布律为P{X=k}=p,k=0,1,2ke共射击N次，其中2得0分的有n次，0e1e得1分的有n1次，0得2分的有n次，2游戏规则：那么总得分为落在e0区域得0分；0n01n1

3、2n2落在e区域得1分；每次射击的平均得分为12落在e2区域得2分.0n01n12n2nkknN的增大Nk0Nk频率概率pkN稳定于22nkN的增大kkpkN稳定于k0k0数学期望简称期望，数学期望的概念又称为均值.定义：设离散型随机变量X的分布律为P{X=x}=p,k=1,2,…kk若级数k1xpkk绝对收敛，则级数k1xpkk的和称为离散型随机变量X的数学期望，记作E(X)．几点说明EX()k1xpkkE(X)是一个实数，而不是一个变量．虽然随机变量的数

4、学期望又称为均值，但这均值不同于一般变量的算术平均值，而是随机变量所有可能取值的加权平均．级数的绝对收敛性保证了级数的和不随级数求和次序的改变而改变．例：•对技术熟练的射手甲X012e2p00.20.8ke1e•对新手乙0Y012游戏规则：p0.60.30.1k落在e区域得0分；0落在e区域得1分；哪一个人的射击水平较高？1落在e区域得2分．EX()0010.220.81.8＋＋＝2EY()00.610.320.10.5＋＋＝射手甲的水平较高．kk2例：设随机变量X的所有可能取值为x

5、(1)，k1,2,kk1分布律为PX{x}p，k1,2,，试求X的数学期望.kkk2解：题目给出的确实是一个离散型随机变量的分布律：1(1)p0,k1,2,kk2并非任意一个随机变量112都存在数学期望！(2)pkk1k1k12112k1111xpkk(1)1ln2k1k1k2341但因为xpkk是发散的调和级数，k1k1k所以X的数学期望不存在，－ln2也就不是X的数学期望．数学期望简称期望，数学期望的概念又称为均

6、值.定义：设离散型随机变量X的分布律为P{X=x}=p,k=1,2,…kk若级数k1xpkk绝对收敛，则级数k1xpkk的和称为离散型随机变量X的数学期望，记作E(X)．定义：设连续型随机变量X的概率密度为f(x)，若积分xfxdx()绝对收敛，则积分xfxdx()的值称为连续型随机变量X的数学期望，记作E(X)．数学期望简称期望，数学期望的概念又称为均值.定义：设离散型随机变量X的分布律为P{X=x}=p,k=1,2,…kk若级数k1xpkk绝对收敛，则级数k

7、1xpkk的和称为离散型随机变量X的数学期望，记作E(X)．定义：设连续型随机变量X的概率密度为f(x)，若积分xfxdx()绝对收敛，则积分xfxdx()的值称为连续型随机变量X的数学期望，记作E(X)．几种常用的概率分布分布参数分布律数字特征k1k两点PX{k}p(1p)0p1EX()p分布k0,1kk1kPX{k}Cp(1p)二项nn1,0p1EX()np分布k0,1,,nk泊松PX{k}e0k!EX()分布k0,1,几种

8、常用的概率分布（续）分布参数概率密度数字特征1均匀,axbababfx()baEX()分布20,其它2(x)正态12R,0fx()e2EX()分布21x指数e,x00fx()EX()分布0,x0例：有两个相互独立工作的电子装置，它们的寿命X（k=k1,2）服从同一个指数分布，其概率密度为1xe,x0fx(),其中00,x0