第六章最大似然估计

《第六章最大似然估计》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、第六章 数理统计的基本概念一、基本教学要求与主要内容(一)教学要求   1．理解总体、个体、简单随机样本和统计量的概念，掌握样本均值、样本方差及样本矩的计算。   2．了解分布、t分布和F分布的定义和性质，了解分位数的概念并会查表计算。   3．掌握正态总体的某些常用统计量的分布。   4．了解最大次序统计量和最小次序统计量的分布。   本章重点：统计量的概念及其分布。 (二)主要内容   1．总体、个体   我们把研究对象的全体称为总体(或母体)，把组成总体的每个成员称为个体。在实际问题中，通常研究对象的某个或某几个数值指标，因而常把总体的数值指

2、标称为总体。设x为总体的某个数值指标，常称这个总体为总体X。X的分布函数称为总体分布函数。当X为离散型随机变量时，称X的概率函数为总体概率函数。当X为连续型随机变量时，称X的密度函数为总体密度函数。当X服从正态分布时，称总体X为正态总体。正态总体有以下三种类型：   (1)未知，但已知；   (2)未知，但已知；   (3)和均未知。   2．简单随机样本   数理统计方法实质上是由局部来推断整体的方法，即通过一些个体的特征来推断总体的特征。要作统计推断，首先要依照一定的规则抽取n个个体，然后对这些个体进行测试或观察得到一组数据，这一过程称为抽样。

3、由于抽样前无法知道得到的数据值，因而站在抽样前的立场上，设有可能得到的值为，n维随机向量()称为样本。n称为样本容量。(）称为样本观测值。 如果样本()满足 （1）相互独立；   (2)服从相同的分布，即总体分布； 则称()为简单随机样本。简称样本。 设总体X的概率函数(密度函数)为，则样本（)的联合概率函数(联合密度函数为)      3.统计量 完全由样本确定的量，是样本的函数。即：设是来自总体X的一个样本，是一个n元函数，如果中不含任何总体的未知参数，则称为一个统计量，经过抽样后得到一组样本观测值，则称为统计量观测值或统计量值。4.常用统计量

4、（1）样本均值：（2）样本方差：（3）样本标准差：它们的观察值分别为：这些观察值仍分别称为样本均值、样本方差和样本标准差。（4）样本中位数：                            当n为奇数med=        当n为偶数其中：是数据由小到大的重排。（5）样本的极差：（6）样本的四分位间距：其中分别为数据的上、下四分位数。样本相关系数：5.三个重要分布（1）分布设为独立标准正态变量，称随机变量的分布为自由度为n的分布，记为。称满足：的点为分布的分位点。（2）t分布设随机变量X与Y独立，，则称的分布为自由度n的t分布，记为。称满足：

5、的点为t分布的分位点。（3）F分布设随机变量U与V相互独立，，则称的分布为自由度的F分布，记为。称满足：的点为F分布的分位点，且有6.正态总体的抽样分布统计量的分布称为抽样分布，设是来自正态总体的一个简单随机样本，与分别为样本的均值和样本方差，则有（1）；（2）与相互独立；（3）。 学习要点统计学的核心问题是由样本推断总体，因此理解统计量的概念非常重要。它是样本的函数，统计量的选择和运用在统计推断中占据核心地位。样本均值、样本方差以及其他样本矩都是一些常用的统计量，必须熟悉它们的计算方法及其有关性质。统计量的分布称为抽样分布，其中分布、t分布、F分

6、布即是本章的重点，必须熟悉它们的定义、性质及其上分位点的查表方法；正态总体抽样分布是统计学中最重要的一个理论结果，必须弄清它的条件及结论，并能运用判断一些常用统计量的分布。 习题解答   1.设是来自服从参数为的泊松分布的样本，试写出样本的联合分布律。   解             2.设是来自上的均匀分布的样本，未知（1）写出样本的联合密度函数；（2）指出下列样本函数中哪些是统计量，哪些不是？为什么？（3）设样本的一组观察是：0.5,1,0.7,0.6,1,1,写出样本均值、样本方差和标准差。   解（1）                   

7、                0           其他（2）和是，和不是。因为和中不含总体中的唯一未知参数，而和中含有未知参数。（3）样本均值样本方差样本标准差。   3.查表求，，，。解 ，，，。   4.设，求常数，使。   解 由t分布关于纵轴对称，所以即为。由附表5.6可查得，所以。   5.设是来自正态总体的样本，试证：（1）；（2）。证明：（1）独立同分布于，由分布的定义，，即。（2）易见，，即，由分布的定义，，即。  6.设是独立且服从相同分布的随机变量，且每一个都服从。（1）试给出常数，使得服从分布，并指出它的自由度；（2）试

8、给出常数，使得服从t分布，并指出它的自由度。    解（1）易见，即为二个独立的服从的随机变量平方和，服从分布，即；自由度