圆的综合应用及复习

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1、圆综合复习一、本章知识框架二、本章重点1.圆的定义:(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周,另一个端点A所形成的封闭曲线,叫做圆.(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合.2.与圆有关的角(1)圆心角:顶点在圆心的角叫圆心角.圆心角的性质:圆心角的度数等于它所对的弧的度数.(2)圆周角:顶点在圆上,两边都和圆相交的角叫做圆周角.圆周角的性质:①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.②同弧或等弧所对的圆周角相等;在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等.③90°的圆周角所对的弦为直径;半圆或直径所对的圆周角为直角.④如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是

2、直角三角形.⑤圆内接四边形的对角互补;外角等于它的内对角.(3)弦切角:顶点在圆上,一边和圆相交,另一边和圆相切的角叫弦切角.弦切角的性质:弦切角等于它夹的弧所对的圆周角.弦切角的度数等于它夹的弧的度数的一半.【经典例题精讲】例1下列命题正确的是()A.相等的圆周角对的弧相等B.等弧所对的弦相等C.三点确定一个圆第12页共12页D.平分弦的直径垂直于弦.练习1.已知:如图,AB是⊙O的直径,CD是⊙O的弦,AB,CD的延长线交于E,若AB=2DE,∠E=18°,求∠C及∠AOC的度数.2.已知:如图,在同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C,D两点.(1)求证:∠AOC=∠BO

3、D;(2)试确定AC与BD两线段之间的大小关系,并证明你的结论.3.已知:如图,△ABC内接于⊙O,AM平分∠BAC交⊙O于点M,AD⊥BC于D.求证:∠MAO=∠MAD.4.已知:如图,AB是⊙O的直径,CD为弦,且AB⊥CD于E,F为DC延长线上一点,连结AF交⊙O于M.求证:∠AMD=∠FMC.第12页共12页3.圆的性质:(1)旋转不变性:圆是旋转对称图形,绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合;圆是中心对称图形,对称中心是圆心.在同圆或等圆中,两个圆心角,两条弧,两条弦,两条弦心距,这四组量中的任意一组相等,那么它所对应的其他各组分别相等.(2)轴对称:圆是轴对称图

4、形,经过圆心的任一直线都是它的对称轴.4垂径定理及推论:(1)垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.(2)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.(3)弦的垂直平分线过圆心,且平分弦对的两条弧.(4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心,且垂直平分此弦.(5)平行弦夹的弧相等.【经典例题精讲】1已知:如图,AB是⊙O的直径,弦CD交AB于E点,BE=1,AE=5,∠AEC=30°,求CD的长.2.已知:如图,A,B是半圆O上的两点,CD是⊙O的直径,∠AOD=80°,B是的中点.(1)在CD上求作一点P,使得AP+PB最短;(2)若CD=4cm

5、,求AP+PB的最小值.3.如图,有一圆弧形的拱桥,桥下水面宽度为7.2m,拱顶高出水面2.4m,现有一竹排运送一货箱从桥下经过,已知货箱长10m,宽3m,高2m(竹排与水面持平).问:该货箱能否顺利通过该桥?第12页共12页5.三角形的内心、外心、重心、垂心(1)三角形的内心:是三角形三个角平分线的交点,它是三角形内切圆的圆心,在三角形内部,它到三角形三边的距离相等,通常用“I”表示.(2)三角形的外心:是三角形三边中垂线的交点,它是三角形外接圆的圆心,锐角三角形外心在三角形内部,直角三角形的外心是斜边中点,钝角三角形外心在三角形外部,三角形外心到三角形三个顶点的距离相

6、等,通常用O表示.(3)三角形重心:是三角形三边中线的交点,在三角形内部;它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍,通常用G表示.(4)垂心:是三角形三边高线的交点.6.圆内接四边形和外切四边形(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形,圆内接四边形对角互补,外角等于内对角.(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形,圆外切四边形对边之和相等.【经典例题精讲】1.四边形ABCD内接于⊙O,∠A︰∠B︰∠C=1︰2︰3,求∠D.7.判定一个点P是否在⊙O上.设⊙O的半径为R,OP=d,则有d>r点P在⊙O外;d=r点P在⊙O上;d

7、O半径为R,点O到直线l的距离为d.(1)直线和圆没有公共点直线和圆相离d>R.(2)直线和⊙O有唯一公共点直线l和⊙O相切d=R.(3)直线l和⊙O有两个公共点直线l和⊙O相交d

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