【力学教案】 第7章 直梁弯曲

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1、第7章直梁弯曲本章要点l理解弯曲的概念和实例l掌握截面法求剪力和弯矩l掌握剪力方程和弯矩方向，剪力图和弯矩图l掌握横力弯曲（剪切弯曲）时正应力和切应力的计算l掌握横力弯曲变形的计算l掌握提高弯曲强度的措施,7.1　梁的类型及计算简图7.1.1对称弯曲的概念承受设备及起吊重量的桥式起重机的大梁（图7-1）、承受转子重量的电机轴（图7-2）等，在工作时最容易发生的变形是弯曲。其受力特点是：杆件都是受到与杆轴线相垂直的外力（横向力）或外力偶的作用。其变形为杆轴线由直线变成曲线，这种变形称为弯曲变形。图7-1

2、桥式起重机的大梁图7-2承受转子重量的电机轴工程中的梁，其横截面通常都有一纵向对称轴。该对称轴与梁的轴线组成梁的纵向对称面（图7-3）。外力或外力偶作用在梁的纵向对称平面内，则梁变形后的轴线在此平面内弯曲成一平面曲线，这种弯曲称为对称弯曲。图7-3对称弯曲１２１7.1.2梁上的载荷作用在梁上的载荷可以简化为以下三种类型：(1)集中力；(2)集中力偶；(3)分布载荷，如图7-4a所示。7.1.3梁的基本形式1.简支梁梁的一端为固定铰链支座，另一端为活动铰链支座。如图7-4a所示。图7-4梁的类型2.外伸

3、梁梁的支座和简支梁相同，只是梁的一端或两端伸出在支座之外。如图7-4b所示。3.悬臂梁梁的一端固定，另一端自由。如图7-4c所示。在对称弯曲的情况下，梁的主动力与约束反力构成平面力系。上述简支梁、外伸梁和悬臂梁的约束反力，都能由静力平衡方程确定，因此，又称为静定梁。在工程实际中，有时为了提高梁的强度和刚度，采取增加梁的支承的办法，此时静力平衡方程就不足以确定梁的全部约束反力，这种梁称为静不定梁或超静定梁。7.2　梁弯曲时的内力图7-5截面法求剪力和弯矩7.2.1剪力和弯矩现以图7-5所示的简支梁为例来

4、研究各横截面上的内力。P1、P2和P3为作用于梁上的载荷，RA和RB为两端的支座反力。为了显示出横截面上的内力，沿截面mm假想地把梁分成两部分，并以左段为研究对象。由于原来的梁处于平衡状态，所以梁的左段仍应处于平衡状态。作用于左段上的力，除外力RA和P1外，在截面m-m上还有右段对它作用的内力。把这些内力和外力投影于y轴，其总和应等于零。一般说，这就要求截面m-m上有一个与横截面相切的内力Q，且由１２１åFy=0，得：RA-P1-Q=0ÞQ=RA-P1(a)Q称为横截面m-m上的剪力。它是与横截面相切

5、的分布内力系的合力。若把左段上的所有外力和内力对截面m-m的形心O取矩，其力矩总和应等于零。一般说，这就要求截面m-m上有一个内力偶矩，由åMO=0，得：M+P1(x-a)-RAx=0ÞM=RAx-P1(x-a)(b)M称为横截面mm上的弯矩。它是与横截面垂直的分布内力系的合力偶矩。从(a)式看出，剪力Q在数值上，等于截面mm以左所有外力在梁轴垂线（y轴）上投影的代数和。从(b)式算出，弯矩M在数值上，等于截面mm以左所有外力对截面形心的力矩的代数和。所以，Q和M可用截面mm左侧的外力来计算。如以右段

6、为研究对象，用相同的方法也可求得截面mm上的剪力Q和弯矩M。且Q在数值上，等于截面mm以右所有外力在梁轴垂线上投影的代数和；M在数值上，等于截面mm以右所有外力对截面形心力矩的代数和。因为剪力和弯矩是左段与右段之间在截面mm上相互作用的内力，所以，右段作用于左段的剪力Q和弯矩M，必然在数值上等于左段作用于右段的剪力Q和弯矩M，但方向相反。把剪力和弯矩的符号规则与梁的变形联系起来，规定如下：如图7-6a所示变形情况下，截面的左段对右段向上错动时，截面上的剪力规定为正；反之，为负如图7-6b所示。如下图7

7、-6c所示变形情况，即在横截面mm处弯曲变形凹向下时，这一横截面上的弯矩规定为正；反之，为负如图7-6d所示。图7-6剪力和弯矩的符号规则图7-7求梁各横截面上的内力根据上述规定可知：对某一指定的截面来说，在它左侧向上的外力，或右侧向下的外力将产生正的剪力；反之，即产生负的剪力。至于弯矩，则无论在指定截面的左侧或右侧，向上的外力产生正的弯矩，而向下的外力产生负的弯矩。【例7-1】：图7-7a示的悬臂梁AB，长为l，受均布载荷q的作用，求梁各横截面上的内力。解：为了显示任一横截面上的内力，假想在距梁的B

8、端为x处沿m-m截面将梁切开。现取左段为研究对象，作出受力图如图7-7b示，由平衡方程求得内力：１２１åFy=0，-qx-Q=0ÞQ=-qxåMC=0，(qx2)/2+M=0ÞM=-(qx2)/2【例7-2】：如图7-8所示简支梁受集中力F=1000N，集中力偶M=4kN·m和均布载荷q=10kN/m的作用，试根据外力直接求出图中1-1和2-2截面上的剪力和弯矩。图7-8求指定截面的剪力和弯矩解：（1）求支反力∑MB=0，F×0.75m－FAy×1m－M