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1、高等几何中圆锥曲线结果的初等化1高等几何中圆锥曲线结果的初等化蚌埠市奋勇街78号中平小区7-2-9信箱杨培明(邮编:233000)近年来,以高等几何为背景的高考、竞赛试题层出不穷,可以预见,此类问题还将会出现在今后的高考、竞赛中.为探究此类试题的背景,探索其命题方法,进一步丰富中学数学,更好的服务于中学数学教学,有必要把高等几何中与中学数学联系密切的圆锥曲线的结果初等化、系统化.初等化、系统化的关键是选择寻找合适的切入点,我们从切线方程开始:1.[切线方程]:若点P(x0,y0)在曲线G:ax2+cy2+2dx+2ey+f=0上,则曲线G在
2、点P处的切线方程为:ax0x+cy0y+d(x+x0)+e(y+y0)+f=0.证明:由ax2+cy2+2dx+2ey+f=02ax+2cy+2d+2e=0=-曲线G在点P处的切线方程为:y-y0=-(x-x0)ax0x+cy0y+d(x+x0)+e(y+y0)+f=ax02+cy02+2dx0+2ey0+f(注意到ax02+cy02+2dx0+2ey0+f=0)ax0x+cy0y+d(x+x0)+e(y+y0)+f=0.推论1(切点弦方程):从点P(x0,y0)引曲线G:ax2+cy2+2dx+2ey+f=0的两条切线,切点分别为M、N,
3、则切点弦MN的方程为:ax0x+cy0y+d(x+x0)+e(y+y0)+f=0.证明:设M(x1,y1),N(x2,y2),则曲线G:ax2+cy2+2dx+2ey+f=0在点M(x1,y1)处的切线方程为:ax1x+cy1y+d(x+x1)+e(y+y1)+f=0,由该切线过点P(x0,y0)ax1x0+cy1y0+d(x0+x1)+e(y0+y1)+f=0点M(x1,y1)在直线ax0x+cy0y+d(x+x0)+e(y+y0)+f=0上;同理可得:点N(x2,y2)也在直线ax0x+cy0y+d(x+x0)+e(y+y0)+f=0上
4、切点弦MN的方程为:ax0x+cy0y+d(x+x0)+e(y+y0)+f=0.推论2(切线性质):过定点P(x0,y0)(x02+y02≠0)的直线与二次曲线G:ax2+cy2+2dx+2ey+f=0相交于M、N,曲线G分别在点M、N处的两条切线相交于点Q,则点Q的轨迹方程为:ax0x+cy0y+d(x+x0)+e(y+y0)+f=0.证明:设点Q(s,t),则切点弦MN的方程为:asx+cty+d(x+s)+e(y+t)+f=0,由该直线过点P(x0,y0)asx0+cty0+d(x0+s)+e(y0+t)+f=0点Q的轨迹方程为:ax
5、0x+cy0y+d(x+x0)+e(y+y0)+f=0.推论3(切点弦性质):过直线l:ax0x+cy0y+d(x+x0)+e(y+y0)+f=0上的点Q作曲线G:ax2+cy2+2dx+2ey+f=0的两条切线,切点分别为M、N,则:直线MN恒过定点P(x0,y0).证明:设点Q(s,t),则切点弦MN的方程为:asx+cty+d(x+s)+e(y+t)+f=0,由点Q(s,t)在直线l:ax0x+cy0y+d(x+x0)+E(y+y0)+f=0上ax0s+cy0t+d(s+x0)+e(t+y0)+f=0直线MN:asx+cty+d(x+
6、s)+e(y+t)+f=0恒过定点P(x0,y0).切线性质与切点弦性质互为逆命题,高等几何中把形如这样的点线互换的命题称为“对偶命题”.至此我们已初步认识到点P(x0,y0)与直线l:ax0x+cy0y+d(x+x0)+e(y+y0)+f=0的密切关系,点P与直线l是我们下面展开深入讨论的出发点.定义:点P(x0,y0)称为直线l:ax0x+cy0y+d(x+x0)+e(y+y0)+f=0关于曲线G:ax2+cy2+2dx+2ey+f=0的极点;直线l:ax0x+cy0y+d(x+x0)+e(y+y0)+f=0称为点P(x0,y0)关于曲
7、线G:ax2+cy2+dx+ey+f=0的极线.称点P与直线l有“配极关系”,或“对偶关系”,相互为对方的“配极元素”,或“对偶元素”.特别地,当点P在曲线G上时,点P关于曲线G的极线是曲线G在点P处的切线;圆锥曲线的焦点对应的极线是该焦点对应的准线;圆锥曲线的准线对应的极点是该准线对应的焦点.一个极点对应唯一的一条极线,一条极线对应唯一的一个极点,极点与极线构成一一对应关系.关于圆锥曲线的这种配极对应关系,在高等几何中有深入系统的研究.这里我们关注的是在中学数学,尤其是高考、竞赛中非常有用的性质、定理及其系统.2.[配极原则]:如果点P的
8、极线通过点Q,则点Q的极线也通过点P.配极原则可见文[1]P180,下面我们给出初等证明.证明:设圆锥曲线G:ax2+cy2+2dx+2ey+f=0,点P(xp,yp),Q(xQ
