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1、高等几何中的对偶方法一九九七年第六期赣南师范学院Journal0fGann&nTeaehersCollegeNo.6Dec.1997高等几何中的对偶方法宋方钦(赣南师院数学与计算机系,江西赣州,34L000)o摘要本文通过论述对偶运算,对偶图形,对偶原理等内容,提出了对偶方法的概念,并阐明对偶原理厦其方法在高等几何中的作用与其他学科中的广泛应用.关键词分类号.竺坚兰笠堕堡筮里,苎互鲨O18高等可为了有效地研究几何,人们常常把某些几何元素与几何元素问的某些关系作为不用定义的基本概念而所有其他的几何元素与几何元素之间的其他关系,都是可利用它们来加以定义,加以解释.同时还要选取几个命题作为基
2、本公理,用以导出其他的几何命题(定理).古希腊数学家欧几里得(Euclid)首先把亚里士多德(Aristotle)在<分析篇)中初步总结出来的公理方法运用到几何学,写成《几何原本)一书,使几何学成为一个较完整的公理体系,它对数学的发展起了巨大的作用.但这本巨着还存在很多缺陷,许多数学家为此做了大量改良公理法的尝试.十九世纪末,大数学家希尔伯特(Hilbert)取"点,直线,平面"作为基本对象,取"点结台直线","点结台平面","一点在二点之间","线段合同","角合同"作为基本关系,加上五组公理,形成_,一个完整的公理体系,写成名着《几何基础),从而完善了几何学公理方法.把公理化方法运用
3、于射影几何,就得到射影几何严密的公理化体系.l对偶概念与配极对应由于射影几何是研究拓广了的射影平面,"在欧氏平面上添加一条无穷远直线即得到仿射平面.如果在仿射平面上,对于有穷远元素与无穷远元素同等看待而不加区分即得到射影平面"由于在射影平面内添加了无穷远元素,因此任何两直线都相交,点与直线完全处于平等的地位.在平面射影几何中,我们把"点"与"直线"作为基本元素,"点与直线的关系"作为基本关系,可以建立平面射影几何的公理体系.在射影平面上,"点"与"直线"称为基本的对偶元素."一点在某直线上"与"一直线通过某点"是两个基本的对偶关系,而其他的对偶概念可由基本的对偶元素与基本的对偶关系经由对称的程
4、序导出.这样得到的成对出现的几何元素及几何对象间的关系,称为导出的对偶元素与导出的对偶关系例如,"点列与"线束"是一对导出的对偶元素,"三点共线"与"三线共点","对四点,每三点不共线"与"对四直线,每三直线不共点"均为导出的对偶关系.这些成对出现的概念,称为对偶概念."任取一个在已知直线上的点"与"任取一条通过已知点的直线",称为对偶运算.在由点与直线组成的平面图形中,将各元素改为它的对偶元素,各运算改为它的对偶运算,其结果形成另一图形,这两个图形称为对偶图形.如三点形与三线形,简单四点形与简单四线形,完全收稿R期19昕一02—26,,I,,JJ16赣南师范学院1997正的n点形与完全的n线
5、形等都是对偶图形.在射影几何里,将一个命题中的各元素改为它的对偶元素,各运算改为它的对偶运算,其结果形成另一个命题,这两个命题称为对偶命题.一定点P关于二阶曲线C的共轭点的轨迹是一条直线,该直线称为点P的极线,记作P点P称为极线P的极点.并规定二阶曲线上点的极线就是该点的切线.这样对于射影平面上任何点P(或直线p)关于二阶曲线都有确定的极线(或极点),这就是说在射影平面上点与直线关于二阶曲线C的地位,完全处于对称的状态之中在射影平面上,任一点对应于它的极线,任一直线对应于它的极点,这种对应称为配极对应.以配授对应互相转换的两个图形,称为配极对应图形.将一个射影平面几何命题中的每一个元素换为它的
6、配极对应元素,所得的命题称为配极对偶命题.对于配扳对应的研究,导致了平面一般对偶原理的被发现.运用对偶概念和对偶原理研究数学的方法,就称为对偶方法.2对偶原理及其方法的作用.在射影平面或射影空间里,如果一个命题成立,则它的对偶命题也成立.这就是对偶原理.这个原理是由彭色列(Poncelet)在建立射影几何学理论时首先发现的.对于配极对偶命题,如果一个为真,则另一个亦真.这就是平面配极对偶原理.对偶概念与对偶原理,不仅在射影平面几何中成立,在三维空间,乃至n维空间也有相应的对偶原理.但对偶元素,对偶命题是不同的例如,在射影平面上,"不同二点确定一直线"与"不同二直线确定一点"是对偶的;在射影空间
7、中,"不共线三点确定一平面"与"不共线三平面确定一点"是对偶的.在射影平面上,"点"与"直线"互为对偶元素;在射影空间中,"点"与"平面"互为对偶元素,"直线"是自对偶元素.用对偶方法把～个命题变成它的对偶命题,如果一个命题成立,则其对偶命题也成立在这个方法的启发下,人们可以从已经掌握的许多定理,去发现许多新定理;可以从点几何学的许多理论,得到线几何学,面几何学的许多相应的理论这样就可以大大地减少
