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时间:2019-02-28
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1、http://www.caijj.com/函数的应用举例·例题解析1.几何问题类用函数思想解决几何(如平面几何、立体几何及解析析几何)问题,这是常常出现的数学本身的综合运用问题.【例1】如图2.9-1,一动点P自边长为1的正方形ABCD的顶点A出发,沿正方形的边界运动一周,再回到A点.若点P的路程为x,点P到顶点A的距离为y,求A、P两点间的距离y与点P的路程x之间的函数关系式.解(1)当点P在AB上,即0≤x≤1时,AP=x,也就是y=x.(2)当点P在BC边上,即1<x≤2时,AB=1,AB+BP=x,BP=x-1,根据勾股定理
2、,得AP2=AB2+BP222∴y=AP=1+(x−1)=x−2x+2.(3)当点P在DC边上,即2<x≤3时,AD=1,DP=3-x.根据勾股定理,得AP2=AD2+DP2.22∴y=AP=1+(3−x)=x−6x+10(4)当点P在AD边上,即3<x≤4时,有y=AP=4-x.∴所求的函数关系式为2.行程问题类【例2】已知,A、B两地相距150公里,某人开汽车以60公里/小时的速度从A地到达B地,在B地停留一小时后再以50公里/小时的速度返回A地,求汽车离开A地的距离x表示为时间t的函数.解根据题意:(1)汽车由A到B行驶t小时
3、所走的距离x=60t,(0≤t≤2.5)(2)汽车在B地停留1小时,则B地到A地的距离x=150(2.5<x≤3.5)(3)由B地返回A地,则B地到A地的距离x=150-50(t-3.5)=325-50t(3.5<x≤6.5)http://www.caijj.com/http://www.caijj.com/⎧60t(0≤t≤2.5)⎪总之x=⎨150(2.5<t≤3.5)⎪⎩325-50t(3.5<t≤6.5)3.工程设计问题类工程设计问题是指运用数学知识对工程的定位、大小、采光等情况进行合理布局、计算的一类问题.【例3】要在墙上
4、开一个上部为半圆,下部为矩形的窗户(如图2.9-2所示),在窗框为定长l的条件下,要使窗户透光面积最大,窗户应具有怎样的尺寸?解设半圆的直径为x,矩形的高度为y,窗户透光面积为S,则πx窗框总长l=+x+2y,22l−(2+π)x∴y=4ππ2l−(2+π)x22S=x+xy=x+·x88424+π2ll2=-(x−)+84+π2(4+π)22ll当x=时,Smax=,4+π2(4+π)lx此时,y==4+π2l答窗户中的矩形高为,且半径等于矩形的高时,窗户的透光4+π面积最大.说明应用二次函数解实际问题,关键是设好适当的一个变量,
5、建立目标函数.【例4】要使火车安全行驶,按规定,铁道转弯处的圆弧半径不允许小于600米,如果某段铁路两端相距156米,弧所对的圆心角小于180°,试确定圆弧弓形的高所允许的取值范围.http://www.caijj.com/http://www.caijj.com/解设园的半径为R,圆弧弓形高CD=x(m).在Rt△BOD中,DB=78,OD=B-x∴(R-x)2+782=R22x+6084解得R=2x由题意知R≥6002x+6084∴≥6002x得x2-1200x+6084≥0(x>0),解得x≤5.1或x≥1194.9(舍)∴圆
6、弧弓形高的允许值范围是(0,5.1].4.营销问题类这类问题是指在营销活动中,计算产品成本、利润(率),确定销售价格.考虑销售活动的盈利、亏本等情况的一类问题.在营销问题中,应掌握有关计算公式:利润=销售价-进货价.【例5】将进货价为8元的商品按每件10元售出,每天可销售200件,若每件售价涨价0.5元,其销售量就减少10件.问应将售价定为多少时,才能使所赚利润最大,并求出这个最大利润.解设每件售价提高x元,则每件得利润(2+x)元,每天销售量变为(200-20x)件,所获利润y=(2+x)(200-20x)2=-20(x-4)+7
7、20当x=4时,即售价定为14元时,每天可获最大利润为720元.5.单利问题类单利是指本金到期后的利息不再加入本金计算.设本金为P元,每期利率为r,经过n期后,按单利计算的本利和公式为Sn=P(1+nR).【例6】某人于1996年6月15日存入银行1000元整存整取定期一年储蓄,月息为9‰,求到期的本利和为多少?解这里P=1000元,r=9‰,n=12,由公式得S12=P(1+12r)=1000×(1+0.009×12)=1108元.答本利和为1108元.http://www.caijj.com/http://www.caijj.c
8、om/6.复利问题类复利是一种计算利率的方法,即把前一期的利息和本金加在一起做本金,再计算下一期的利息.设本金为P,每期利率为r,设本利和为y,存期为x,则复利函数式为y=P(1+r)x.【例7】某企业计划发行企业债券,每张债券现值5
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