数学思想方法在初中二次函数综合问题中应用

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1、数学思想方法在初中二次函数综合问题中应用摘要：数形结合、方程与函数、建模思想、分类讨论、整体思想、转化化归以及待定系数法、配方法、消元法等都是初中阶段核心的思想方法。二次函数综合问题中，蕴含的数学思想方法集中，涉及到的知识点多，掌握思想方法，在解题中的运用技巧，整合所学的知识，能提高分析问题和解决问题的能力。关键词：二次函数综合问题数学思想方法中图分类号：G633.6文献标识码：C文章编号：1672-1578(2012)10-0087-02函数是'‘数与代数”领域的核心内容，更是难点所在。二次函数综

2、合问题中，蕴含的数学思想方法集中，涉及到的知识点多，能充分体现学生获取数学信息以及运用数学思想方法分析问题和解决问题的能力，因而成为广大师生关注的热点问题。解函数综合问题，要善于借助点的坐标将线段和函数解析式结合起来，通过计算和证明是正确求解的关键。本文以2011年施恩自治州中考数学题为例予以分析。1数学实例【题】：如图，在平面直角坐标系中，直线AC：y=Hx+8与x轴交与点A,与y轴交与点C,抛物线y二ax2+bx+c过点A、点C,且与x轴的另一交点为B(xO,0),其中x0>0,又点P是抛物线的

3、对称轴1上一动点。⑴求点A的坐标，并在图1中的上找一点P0,使P0到点A与点C的距离之和最小；(2)^APAC周长的最小值为10+2・，求抛物线的解析式及顶点N的坐标；⑶如图2,在线段C0上有一动点M以每秒2个单位的速度从点C向点0移动(M不与端点C、0重合)，过点M作MH〃CB交x轴与点H,设M移动的时间为t秒，试把厶卩。!™的面积S表示成时间t的函数，当t为何值时，S有最大值，并求出最大值；⑷在⑶的条件下，当S=■时，过M作x轴的平行线交抛物线于E、F两点，问：过E、F、C三点的圆与直线CN能否

4、相切于点C?请证明你的结论。解：⑴直线AC与x轴的交点为A,令y=0得，x=-6,即点A(-6,0)；如图1,连接CB与直线1交于点P0即为所求。(2)由⑴知,AP0AC的周长最小，得AC+BO10+2.,直线AC与y轴交与点C,令x=0得：y=8,即点C(0,8)。故AC=10,由此可得，x0=10,即点B(10,0)；•.•抛物线过A、B.C三点，100a+10b+c=036a-6b+c=0c=8,解得a=-Bb=Hc=8故抛物线的解析式为y=-・x2+・+8,配方得y=-H(x-2)2+・，顶

5、点N的坐标为(2,・)。(3)如图2,连接CH,由题意知CM二2t,又TMH〃CB，AAOMH^AOCB,即■二■,解得0H=・(8-2t)二-■t+10,・•・S二S■二SZXMHC二・CM•OH二—・t・+10t二—■(t-2)■+10(0

6、的圆心。设点01(2,m),则点E的坐标可设为(n,m),由点E在抛物线上及01E2二01C2得m二-・n2+・n+8①(2-n)2=22+(8-m)2②由①X(-■)，得n2-4n=60-Bm③由②，得n2-4n=64-16m+m2④将③式代入④式，解得m二■或！n=8(舍去)。当m二■时，CM二2t二8-・，解得t二・。将t二■代入S=-・t2+10t,得S=・,此时满足条件S=Bo当呼■时,01N2=(■-B)2=B.又01C2=H,CN2=(H-8)2+22=・,则01C2+CN2二■+■二

7、■，此时满足01C2+CN2=01N2,即直线CN与圆01相切。.•.当S二■时，过E、F、C三点的圆能与直线CN能相切于点Co2例题数学思想方法2.1数形结合的思想方法此题第⑷小题由E(n,m)得到m=-Bn2+Bn+8,考查点是“图形上点的坐标满足该图形的表达式”，其方法是将图形上点的坐标代入函数表达式，求出未知数或数量关系式；由01E2=O1C2得到(n-2)2=22+(8-m)2,其方法是将线段用坐标值表示代入等式01E2=01C2求出数量关系。这些都是由“形"的关系得到“数"的结论。由01

8、、C、N三点的坐标得到AOICN是直角三角形，是由“数”的关系得到“形”的结论。由此可知，“形”的性质能直观地反映出“数”的本质，"数”的精确性又能阐明“形”的某种属性。2.2一般化与特殊化的思想方法此题第⑴、⑵小题在求点A、C的坐标时，因为点A、C分别在x轴和y轴上，而x轴上点的纵坐标和y轴上点的横坐标均为0,所以对直线AC的表达式令y=0就可求得x=-6、令x=0就可求得尸8,这就是特殊化的思想方法。第⑵小题在求抛物线的解析式时，将、、代入函数解析式（未给出应先设