2017-2018版高中数学第二单元圆锥曲线与方程疑难规律方法教学案新人教b版选修1-1

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1、第二单元圆锥曲线与方程方法活用41椭圆的泄义在解题中的妙用椭圆定义反映了椭圆的木质特征，揭示了曲线存在的儿何性质.有些问题，如果恰当运用定义来解决，可以起到事半功倍的效果，下面通过儿个例子进行说明.1.求最值例1线段

2、個=4,

3、別+

4、阳=6,M是M的中点，当P点在同一平面内运动时，副的长度的最小值是（）A.2BpC.^5D.5解析由于

5、/州+

6、/为

7、=6>4=

8、初

9、,故由椭圆定义知"点的轨迹是以必为原点，A.〃为焦点的椭圆，且臼=3,c=2,・・・力=7?二7=&.于是刖的长度的最小值是答案C2.求动点坐标22例2椭圆专+金=1上到两个焦点凡庄距离之积最大的点的坐标是・解析设

10、椭圆上的动点为只由椭圆的定义可知丨丹;丨+丨处1=2日=10,所以I用丨•I朋朋丨了朋）=簡—25,当且仅当I/旳=丨/沟时取等号.

11、/狎+丨阂=10,必丨=丨開，解得丨/竹丨=/^=5=吕,此时点P恰好是椭圆短轴的两端点，即所求点的坐标为（±3,0）.答案（±3,0）点评由椭圆的定义可得朋丨+丨％

12、=10”，即两个正数

13、朋

14、朋

15、的和为定值，结合均值不等式可求

16、W

17、,

18、/^

19、积的最大值，结合图形可得所求点"的坐标.3.求焦点三角形面积22例3如图所示，已知椭圆的方程为冷+彳=1，若点戶在第二象限，且Z朋£=120°，求△朋&的而积.解由已知得自=2,b=£,所以

20、_/=］,FF2=2c=2.在△砂尺中，由余弦定理得I处

21、2=丨朋

22、2+

23、凡硏2—2

24、册

25、

26、凡硏cos120°,即I处

27、2=

28、朋

29、2+4+2

30、刃］

31、,①由椭圆定义,得

32、丹］

33、+

34、朋

35、=4,即

36、处

37、=4—

38、朋②将②代入①，得

39、/^

40、=?.0所以S、PFF』^PF\・

41、朋

42、・sin120°=^x

43、x2X^=

44、V3,即的面积是菲•点评在厶PFM，由椭圆的定义及余弦定理可得关于

45、/^

46、,PF,的方程组，消去

47、/沟可求I朋

48、・从以上问题，我们不难发现，凡涉及椭圆上的点及椭圆焦点的问题，我们应首先考虑利用椭圆的定义求解.方法活用q2如何求椭圆的离心率1.由椭圆的定义求离心率

49、例1以椭圆的焦距为直径并过两焦点的圆，交椭圆于4个不同的点，顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为.解析如图所示，设椭圆的方程为飞+$=1(Q40)，半焦距为c,由题ab意知ZYM尺=90°,Z^=60°・:.AF2=c,AFI=2c•sin60°=c.・•・

50、伯丨+

51、朋I=2臼=(^3+1)c.答案萌T点评本题利用了圆及正六边形的儿何性质，并结合椭圆的定义，化难为易，使问题简单解决.1.解方程（组）求离心率xy例2椭圆R+沪1@＞方＞0）的左焦点为幷（一価,水一日，0）、MO,A）是两个顶点,如果桶直线初的距离为命则椭圆的离心率尸解析

52、如图所示，直线初的方程为土+亍=1,即bx—ay+ab=^.b•，点W）到直线曲的距离歸,.b

53、—be十泅f7yja+b'a—c=y]cf+lr,即la—Wac+7c=a+^.又•：甘=舟一d,整理，得5/—14日c+8＜?=0・两边同除以/并由e=£知，8孑一14e+5=0,aiR解得e=§或e=；［（舍去）•2.利用数形结合求离心率2例3在平僧直角坐标系中，椭圆亍+土=1（白＞方＞0）的焦距为2,圆。的半径为臼，过点作圆。的两条切线，貝这两条切线互相垂直，则离心率解析如图所示，切线朋、丹互相垂直，PA=PB.又滋丄曲，OBIPB,0A=0B,则四边形创削是正方形,故O

54、P=®A,即匚迈臼，・・・&£=¥cva21.综合类例4设必为椭圆飞+下=1上一点，几尺为椭圆的左、右焦点，如果Z处用=75°,厶嘶ab=15°,求椭圆的离心率.解由正弦定理得2csin90°必丨sin15°MF2sin75°_2a=sin15°+sin75。=sin15。+sin75。'._£11逅••&asin15°+cos15°辺sin60°3*COS点评此题可推广为若乙时2=(I,上嘶=B,则椭圆的离心率0=77.Q—pcos—-—方法活用43活用双曲线定义妙解题在解双曲线中的有关求离心率、最值等问题时，若能灵活应用双曲线的定义，能把大题化为小题，起到事半功倍的作

55、用.下面举例说明.1.求焦点三角形的周长29XV例1过双曲线謨一百=1左焦点F的直线与左支交于A.〃两点，且眩初长为6,则厶ABF3169为右焦点）的周长是.解析由双曲线的定义知□用一Ha1=8,I购一期1=8,两式相加得M&I+I处

56、一（必用+

57、测

58、）=af2+br-ab=^,从而有I力用

59、+丨朋I=16+6=22,所以/爲的周长为M&I+I朋

60、+

61、M

62、=22+6=28.答案28点评与焦点有关的三角形周长问题，常借助双曲线的定义解决，注意解决问题时的拼凑技巧.1.最值问题例2已知尸是双曲