高中数学 第二章 圆锥曲线与方程疑难规律方法学案 新人教b版选修2-1

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1、第二章圆锥曲线与方程　　　　　　　　　　　　　　　　　1　利用椭圆的定义解题椭圆定义反映了椭圆的本质特征，揭示了曲线存在的几何性质．有些问题，如果恰当运用定义来解决，可以起到事半功倍的效果，下面通过几个例子进行说明．1．求最值例1　线段

2、AB

3、＝4，

4、PA

5、＋

6、PB

7、＝6，M是AB的中点，当P点在同一平面内运动时，PM的长度的最小值是(　　)A．2B.C.D．5解析　由于

8、PA

9、＋

10、PB

11、＝6>4＝

12、AB

13、，故由椭圆定义知P点的轨迹是以M为原点，A、B为焦点的椭圆，且a＝3，c＝2，∴b＝＝.于是PM的

14、长度的最小值是b＝.答案　C2．求动点坐标例2　椭圆＋＝1上到两个焦点F1，F2的距离之积最大的点的坐标是________．解析　设椭圆上的动点为P，由椭圆的定义可知

15、PF1

16、＋

17、PF2

18、＝2a＝10，所以

19、PF1

20、·

21、PF2

22、≤2＝2＝25，当且仅当

23、PF1

24、＝

25、PF2

26、时取等号．由解得

27、PF1

28、＝

29、PF2

30、＝5＝a，此时点P恰好是椭圆短轴的两端点，即所求点的坐标为(±3，0)．答案　(±3，0)点评　由椭圆的定义可得“

31、PF1

32、＋

33、PF2

34、＝10”，即两个正数

35、PF1

36、，

37、PF2

38、的和为定值，结合均

39、值不等式可求

40、PF1

41、，

42、PF2

43、积的最大值，结合图形可得所求点P的坐标．3．求焦点三角形面积例3　如图所示，已知椭圆的方程为＋＝1，若点P在第二象限，且∠PF1F2＝120°，求△PF1F2的面积．非常感谢上级领导对我的信任，这次安排我向股份公司述职，既是对我履行职责的监督，也是对我个人的关心和爱护，更是对**百联东方商厦有限公司工作的高度重视和支持。解　由已知，得a＝2，b＝，所以c＝＝1，

44、F1F2

45、＝2c＝2.在△PF1F2中，由余弦定理，得

46、PF2

47、2＝

48、PF1

49、2＋

50、F1F2

51、2－2

52、PF1

53、

54、·

55、F1F2

56、·cos120°，即

57、PF2

58、2＝

59、PF1

60、2＋4＋2

61、PF1

62、，①由椭圆定义，得

63、PF1

64、＋

65、PF2

66、＝4，即

67、PF2

68、＝4－

69、PF1

70、.②将②代入①，得

71、PF1

72、＝.所以＝××2×＝，即△PF1F2的面积是.点评　在△PF1F2中，由椭圆的定义及余弦定理可得关于

73、PF1

74、，

75、PF2

76、的方程组，消去

77、PF2

78、可求

79、PF1

80、.从以上问题，我们不难发现，凡涉及椭圆上的点及椭圆焦点的问题，我们应首先考虑利用椭圆的定义求解.　　　　　　　　　　　　　　　　2　如何求椭圆的离心率1．由椭圆的定义

81、求离心率例1　以椭圆的焦距为直径并过两焦点的圆，交椭圆于4个不同的点，顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为________．解析　如图所示，设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，半焦距为c，由题意知∠F1AF2＝90°，∠AF2F1＝60°.∴

82、AF2

83、＝c，

84、AF1

85、＝2c·sin60°＝c.∴

86、AF1

87、＋

88、AF2

89、＝2a＝(＋1)c.∴e＝＝＝－1.非常感谢上级领导对我的信任，这次安排我向股份公司述职，既是对我履行职责的监督，也是对我个人的关心和爱护，更是对**百联东

90、方商厦有限公司工作的高度重视和支持。答案　－1点评　本题利用了圆及正六边形的几何性质，并结合椭圆的定义，化难为易，使问题简单解决．2．解方程(组)求离心率例2　椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F1(－c，0)，A(－a，0)、B(0，b)是两个顶点，如果F1到直线AB的距离为，则椭圆的离心率e＝________.解析　如图所示，直线AB的方程为＋＝1，即bx－ay＋ab＝0.∵点F1(－c，0)到直线AB的距离为，∴＝，∴

91、a－c

92、＝，即7a2－14ac＋7c2＝a2＋b2.又∵b2＝a2－c2，整理

93、，得5a2－14ac＋8c2＝0.两边同除以a2并由e＝知，8e2－14e＋5＝0，解得e＝或e＝(舍去)．答案　3．利用数形结合求离心率例3　在平面直角坐标系中，已知椭圆＋＝1(a>b>0)，圆O的半径为a，过点P作圆O的两条切线，且这两条切线互相垂直，则离心率e＝________.解析　如图所示，切线PA、PB互相垂直，PA＝PB.又OA⊥PA，OB⊥PB，OA＝OB，则四边形OAPB是正方形，非常感谢上级领导对我的信任，这次安排我向股份公司述职，既是对我履行职责的监督，也是对我个人的关心和爱护，更

94、是对**百联东方商厦有限公司工作的高度重视和支持。故OP＝OA，即＝a，∴e＝＝.答案　4．综合类例4　设M为椭圆＋＝1上一点，F1、F2为椭圆的左、右焦点，如果∠MF1F2＝75°，∠MF2F1＝15°，求椭圆的离心率．解　由正弦定理得＝＝＝＝，∴e＝＝＝＝.点评　此题可推广为若∠MF1F2＝α，∠MF2F1＝β，则椭圆的离心率e＝.　　　　　　　　　　　　　　　3　活用双曲线定义妙解题在解双曲线中的有关求动点轨迹、离心率、最值等问题时，