（浙江版）2018年高考数学一轮复习专题76数学归纳法（讲）

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1、第06节数学归纳法【考纲解读】考占考纲内容五年统计分析预测数学归纳法了解数学归纳原理，会用数学归纳法证明简单的数学命题.2017浙江22利用数学归纳法证明数列问题.备考重点：1.数学归纳法原理；2.数学归纳法的简单应用.【知识清单】数学归纳法1.证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行:⑴(归纳奠基)证明当n取第一个值no(noeN*)时命题成立.⑵(归纳递推)假设n=k(k>n0,ke*)吋命题成立，证明当n=k+l吋命题也成立.只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从皿开始的所有正整数n都成立.2.数学归纳法的框图表示对点练习【20

2、18届浙江省温州市高三9月一模】已知数列低J屮，知=1晒村■气4(%巳¥木).(1)求证：巴玉鬆<1:(2)求证：｛止涯等差数列;(3),记数列如的前*项和为和求证:5n<【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析.【解析】试题分析:（1）利用数学归纳法可证明；（2）化简尙“-i=?--1=詈,由宀-r4=-1可得缶提等差数列；⑶由⑵可得“治从而可得警=盘5廿船，先证明警=鶉穿

3、2S^<1,则当n=^+l时，尿+二=急

4、€［右口，即»=&+!时，满足所以，当时，都有j£aru<1.⑵由ai+i=*：叱，,得％=益g所以聪-2佥-2孝’即一^―二-=--1,即—亠=.詹所以，数列上m是等差数列.（3）由（2）知，-^-=-2+（7?-1）（-1）=-7?-1，当n>2时，12ras+l&re-(7ws+21n+14J-®・+◎侨一町2■所以兀乏2时，饥宜孰虫£（欲®心空・・・笙显然叽>0,只需证明宛乏3,5U<§即可.当宛走3时，Sg=b.+&a+&j+-+&^++・・・+■（卽z鸟S.■自*■勺S,s,28B4V囲壮+〒4_自・〕Pt=t?【考点深度剖析】数

5、学归纳法是一种重要的数学方法，其应用主要体现在证明等式、证明不等式、证明整除性问题、归纳猜想证明等.浙江对数学归纳法的考查主要是与数列相结合.【重点难点突破】考点1利用数学归纳法证明等式[1-11.用数学归纳法证明“1+2+22+・・・+2°+2=2十一1”，验证n=l时，左边计算所得的式子为（）A.1B.1+2C.1+2+2-D.1+2+22+23【答案】D【解析】左边的指数从0开始，依次加1,直到n+2,所以当n=l时，应加到2彳，故选D.[1-2]观察下列等式：—1=—1；-1+3=2；—1+3—5=—3；一1+3—5+7=4；（1）照

6、此规律，归纳猜想出第〃个等式；（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.【答案】（1）1+3—5+・・・+（-if（2/7-1）=（-ifh5wN“）；（2）见解析.【解析】试题分析：⑴结合所给的规律可猜想第”个等式为=1+3—5+…+(-lf(2«-l)=(-l/«(2)首先说明n=l等式成立，然后假设当n=k(ieN*)时，等式成立，证明当n=k+l时等式成立即可.试题解析：(1)第九个等式为=1+3—5+・・・+(―1)"⑵2—1)=(—1)J(neN：＞)；(2)用数学归纳法证明：①当m=1时,等式显然成立；②假设当n=k(展NJ时，等式

7、成立，即_]+3_5+・・・+(_1)火(2£—1)二(一k则当z?二2+1时，-1+3-5+•••+(一1)气2«—1)+(—1)"'(2/:+1)=(-1卄+(-1厂(2£+1)=(_1厂(_£+2£+1)=(—1)5+1)所以当n=k+时，等式成立.由①②知，一1+3—5+・・・+(-if(2/7-1)=(-if(neN*)【领悟技法】数学归纳法证明等式的思路和注意点(1)思路：用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值nO是多少.(2)注意点：由n=k时等式成立，推出n=k+1时等式成

8、立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形冃标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程，不利用归纳假设的证明，就不是数学归纳法.【触类旁通】【变式一】观察下列等式：#=1；Vl3+23=3；Vl3+23+33=6；a/13+23+33+43=10；Vl3+23+33+43+53=15,⑴猜想第n(neAf)个等式;(2)用数学归纳法证明你的猜想.【答案】⑴JF+2++..+宀警.⑵答案见解析.【解析】试题分析:⑴类比推理可猜想第M处炉)个等式是+卫+扌+…+汩=叫孚£(2)由题意结合数学归纳法的定义即可证得结论.试题解析:⑴"

9、+2'+3'+...+宀弩(2)证明：(i)当〃=1时，等式显然成立.(ii)假设n=k时等式成立，即"+23+33+...+芒邛仏+1)2即F+2卄+••.+宀冲