非线性波动方程的长时间解及相关问题

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1、万方数据指导教师：周忆教授指导小组成员：李大潜院士肖体俊教授雷震教授臼j辰争X3又周忆教授万方数据论文独创性声明本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。论文中除了特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或其它机构已经发表或撰写过的研究成果。其他同志对本研究的启发和所做的贡献均已在论文中作了明确的声明并表示了谢意。作者魏盔堑．吼论文使用授权声明本人完全了解复旦大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采

2、用影印、缩印或其它复制手段保存论文。保密的论文在解密后遵守此靛纛～：挑作者签名：兰三：!二导师签名：龀日期：丝坠呈至望万方数据中文摘要英文摘要目录第一章绪论：问题的背景与研究历史1．1非线性波动方程小初值问题的生命跨度估计．．．．．．．．．．．．．．．．1．2半线性波动方程的精确边界能控性．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．第二章四维拟线性多波速系统Cauchy问题经典解的生命跨度估计2．1介绍与主要结果．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2．2一些记号与预备引理．

3、．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2．3加权Sobolev不等式与加权L2估计．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2．3．1加权Sobolev不等式．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2．3．2一阶导数的加权三2估计．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2．4线性波动方程解本身的三，oc。，2估计．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2．5四维拟线性多波速系统Cauchy问题经典解的生命跨度估计．．．．．．．第三章四维拟线性波动方程具星形障碍外

4、问题经典解的生命跨度估计3．1介绍与主要结果．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3．2Minkowski时空R1+4上线性波动方程解本身的一些估计式．．．．．．．3．2．1三产鹾估计．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3．2．2加权霹。估计．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3．2．3高阶西oo“。2估计与加权三}。估计．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3．3外区域上的估计．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

5、．．．．．．．．．．3．3．1高阶qoou。2估计与加权L}。估计．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3．3．2能量估计与KSS估计．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3．3．3衰减性估计．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3．4四维拟线性波动方程具星形障碍外问题经典解的生命跨度估计．．．．．；m●579nu¨玎殂论就弘泓弱∞蛆姐躬诣∞万方数据第四章三维标量场方程的局部精确边界能控性514．1引言与主要结论．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

6、．．．．．．．514．2Strichartz估{十．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．544．3标量场方程的局部精确边界能控性．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．554．3．1初始数据与终端数据的延拓．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．554．3．2满足初始数据与终端数据的解的构造．．．．．．．．．．．．．．．．584．3．3初边值问题解的唯一性．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．634．3．4边界控制函数的构造．．．．．．．．．．．．．．．

7、．．．．．．．．．．．68参考文献作者已发表或已完成的论文致谢4697577万方数据非线性波动方程的长时间解及相关问题摘要在本文中：我们将讨论非线性波动方程扰动理论中的若干问题．在本文第一部分(第二章与第三章)，我们将在小初值的条件下，讨论非线性项显含解本身时，四维拟线性波动方程多波速系统Cauchy问题及具星形障碍外问题经典解的生命跨度估计问题．空间维数n=4时正好对应于Strauss猜想的临界情形(见§1．1的介绍)．三维情形的相应问题由杜毅及周忆在[11]及flo]中处理．在本文第二部分(第四章)

8、，我们将在低正则性解的框架下，讨论三维标量场方程的局部精确边界能控性问题．本文的第一个结果是对于四维拟线性多波速系统，在非线性项显含未知函数本身及小初值的情形下：证明了其经典解的生命跨度疋≥exp(兰)．我们的证明基于Klainerman所创立的交换向量场方法(关于其历史及应用可参见Klainerman的综述文献【29])．针对多波速问题及非线性项显含未知函数本身的特点：利用Klainerman与Sideris在[28]中建立的Klaine