排列组合复习概要

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1、排列组合与二项式定理（一）主要公式、性质与概念：1．；；2．；3．；4．二项式定理：其中称为展开式第项的二项式系数，第项称为通项：，要注意区分展开式中第项的二项式系数与第项的系数的不同意义。5．展开式中，当n是偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n是奇数时，中间两项、的二项式系数最大。（二）排列组合应用题解法举要排列组合应用题千变万化，其解题思路却离不开十六个字：“分步相乘，分类相加；有序排列，无序组合。”合理地分类正确地分步是应用加法原理和乘法原理的关键，分清是否与顺序有关是区别排列、组合的依据。在十六字“原则”的指导下，按思考方式，分间接法和

2、直接法两种，后一种常用的解法有以下10种：1、特殊位置、特殊元素法；2、捆绑法；3、插空档法；4、先选后排法；5、插隔板法6、住旅店法；7、查字典法；8、分类选取法；9、平均分组法；10、对称性法。（三）排列组合的综合问题1、排列组合的本质区别在于对所取出的元素是作有序排列还是无序排列。组合问题可理解为把元素取出后放到某一集合中去，集合中的元素是无序的。较复杂的排列组合问题一般是先分组，再排列。必须完成所有的分组再排列，不能边分组边排列。排列组合问题的常见错误是重复和遗漏。弄清问题的实质，适当的分类，合理的分步是解决这个错误的关键，采用不同的思路

3、检验结果是否一致是解决这个错误的技巧。2、排列组合的常见模型有“捆绑法”、“插空法”、错位法“、”分组分配“等。集合是常用的工具之一。为了将抽象问题具体化，可以从特殊情形着手，通过画格子，画树图等帮助理解。“正难则反”是处理问题常用的策略。3、典型例题例1、有6本不同的书，按下列方式分配，分别有多少种分配方式？(1).按一组1本，一组2本，一组3本分成三组；(2).按一人1本，一人2本，一人3本分成甲、乙、丙三人；(3).均分成三组；(4).均分成甲、乙、丙三人。解题思路分析：本题是分组分配问题，是排列组合的混合题。处理此类问题的关键是正确判断组

4、间是排列还是组合问题即是有序还是无序。（1）由于各组内元素不同，所以组间无法交换，属组间组合问题，其分法种数由分步计数原理得：N=C61C52C33=60（种）（2）本题分成三组后，分配给甲、乙、丙三个不同的人，属于组间排列问题。第一步分组，方法有C61C52C33，第二步分配，方法有A33种，由分步计数原理，分法种数为：N=C61C52C33A33=360（种）（3）因分组后，组与组交换不形成新的方法，属于组间组合问题，在分组基础上去序即可，分法共有：N=15评注：此题属“均匀分组”题型，其分法种数是在分组的基础上，除以组数的排列数。（4）此题

5、与（1）题题型相同，分法种数：N=C62C42C22=90（种）评注：注意（3）、（4）两种题型的差异。例2、有9名同学排成两行，第一行4人，第二行5人，其中甲必须站在第一行，乙、丙必须站在第二行，问有多少种不同的排法？解题思路分析：法一：从特殊位置着手。第一步排第一行：从甲、乙、丙外的6人中选出3人与甲排第一行，有C63A44种排法；第二步排第二行，将其余5人排在第二行，有A55种排法，由分步计数原理，共有N=C63A44A55（种）排法。法二：从特殊元素着手，第一步甲排第一行，有A41种排法；第二步排乙、丙于第二行，有A52种排法。因排两行与

6、排一行本质相同，故第三步排所剩6人，有A66种排法，由分步计数原理，共有排法：N=A41A52A66种评注：解法一体现了先组合再排列的原则，这是处理排列、组合问题的常用思路。例3、将4个不同的球放入4个不同的盆子内（1）共有几种放法？（2）恰有一个盆子未放球，共几种放法？（3）恰有一个盆子内有2球，共几种放法？（4）恰有两个盆子内未放球，共有几种放法？解题思路分析：（1）把球作为研究对象，事件指所有球都放完。因每一只球都有四种放法，故由分步计数原理，共有44=256（种）；（2）问题即为“4个球放入三个盆子，每个盆子内都要放球，共有几种放法？”第

7、一步是把4只球分成2，1，1三组，共有C42种放法；第二步把3组球放入三个盆子中去（作全排列），有A43种；由分步计数原理，共有N=C42A43（种）评注：第二步应是A43，而不是A33，因还要选从四个盆子中选三个盆子，然后作全排。（3）仔细审题，认清问题的本质。“恰有一盆子内入2个球”即另三个盆子放2球，也即另外3个盆子恰有一个空盆，因此，“恰有一个盆子放2球”与“恰有一个盆子不放球”是等价的。（4）先取走两个不放球的盆子，有C42种取法；其次将4球分两类放入所剩2盆；第一类均匀放入，有C42C22种放法；第二步按3，1分组放入，有C43C11

8、A22种放法。故有N=C42(C42C22+C43C11A22)=84（种）。例4、现有印有0，1，3，5，7，9六个数字的六张照片，如