第二十四的判定定理;线段垂直平分线的性质定理及其逆定理;

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1、年级初二学科数学版本冀教版内容标题命题与证明（2）编稿老师巩建兵【本讲教育信息】一.教学内容：1.直角三角形全等的判定定理．2.线段垂直平分线的性质定理及其逆定理．3.角平分线的性质定理及其逆定理．二.知识要点：1.三角形全等的判定（1）公理：边边边（SSS）、边角边（SAS）、角边角（ASA）．（2）定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写为“斜边、直角边”或“HL”）．2.线段垂直平分线（1）线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．（2）线段垂直平分线性质定理的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，

2、在这条线段的垂直平分线上．3.角平分线（1）角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．（2）角平分线的性质定理的推论：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）．（3）角平分线性质定理的逆定理：到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上．三.重点难点：本讲重点是掌握三角形全等的判定方法，线段垂直平分线、角平分线的性质定理及其逆定理．难点是灵活运用这些知识解决证明题，形成逻辑推理能力．【典型例题】例1.已知：如图所示，AB＝AE，BC＝ED，∠B＝∠E，AF⊥CD，F为垂足，求证：CF＝DF．分析：通过添加辅助线，构造全等三

3、角形，再通过证三角形全等得到线段相等．证明：连结AC、AD，在△ABC和△AED中，∴△ABC≌△AED（SAS），∴AC＝AD．∵AF⊥DC，∴∠AFC＝∠AFD＝90°．在Rt△ACF和Rt△ADF中，∴Rt△AFC≌Rt△AFD（HL），∴CF＝DF．评析：在推理时，不指出是直角三角形，就利用直角三角形判定定理判断三角形全等，这是本节中常犯的错误．例2.如图所示，已知AB＝AC，BD＝DC，AD、BC相交于O．求证：AD⊥BC．分析：此题证法较多，这里我们选用线段垂直平分线的性质定理的逆定理来证明．证明：∵AB＝AC（已知），∴点A在线段BC的垂直平

4、分线上（到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）．同理，点D在线段BC的垂直平分线上．∴AD是BC的垂直平分线，∴AD⊥BC．例3.已知：如图所示，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝5，BC的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E．求△ABE的周长．分析：△ABE的周长为AB＋BE＋AE，由于DE是BC的垂直平分线，所以EB＝EC，利用等量代换可得△ABE的周长为AB＋AE＋EC＝AB＋AC．解：∵DE是BC的垂直平分线，∴BE＝EC（线段垂直平分线的性质定理）．∴AC＝AE＋EC＝AE＋BE，∴AB＋AE＋BE＝AB＋AC

5、．∵AB＝3，AC＝5，∴AB＋AE＋BE＝8，即△ABE的周长为8．评析：此题中∠A＝90°为多余条件．例4.在△ABC中，AB＝AC，AB的中垂线MN与AC所在直线相交所得的锐角是50°，求∠B的大小．分析：首先根据题意画出图形，MN有可能和AC相交，也有可能和AC的延长线或反向延长线相交，注意分情况解答．解：第一种情况：如图（1）所示，MN与AB交于点D，与AC交于点E．∵∠ADE＝90°，∠AED＝50°，∴∠A＝90°－∠AED＝40°．∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠B＝（180°－∠A）＝（180°－40°）＝70°．第二种情况：AB的中垂线

6、MN与CA的延长线交于E点，与AB交于点D，如图（2）所示．∵∠ADE＝90°，∠AED＝50°，∴∠BAE＝90°－∠AED＝40°．∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．∵∠BAE＝∠B＋∠C＝2∠B，∴∠B＝∠BAE＝20°．∴综合以上，∠B为70°或20°．评析：从多角度分析问题，探索方法，培养发散思维．例5.如图（1）所示，内宜高速公路OA与自雅路OB在我市相交于点O，在∠AOB内部有五宝和正紫两个镇C、D．若要修一个大型农贸市场P，使P到OA、OB的距离相等，且使PC＝PD，用尺规作出市场P的位置（不写作法，保留作图痕迹）．分析：P到OA、OB的距离相等

7、，则点P必在∠AOB的平分线上．又PC＝PD，故P必在DC的垂直平分线上．解：如图（2）所示．评析：到两点距离相等的点必在这两点间线段的垂直平分线上，到角两边距离相等的点必在这个角的平分线上，同时满足以上两个要求的点则是这两条直线的交点．例6.如图所示，已知四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠BAD＋∠BCD＝180°，求证：AD＝CD．分析：通过观察，AD与CD所在的两个三角形不可能全等，这就需要考虑构造以AD和CD为边的全等三角形．根据已知条件，利用角平分线的性质定理，过D作∠ABC两边的垂线段．证明：过D作DE⊥AB，交BA的延长线于E点，作DF⊥

8、BC，交BC于F点．∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，∴