数学基本思想及其案例分析

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1、数学基本思想及其案例分析                                                                               曹一鸣    北京师范大学数学科学学院            《标准(2011版)》关于课程的总目标中指出:“学会独立思考,体会数学的基本思想和思维方式。”把数学教学中的“双基”:基础知识与基本技能;发展为“四基”:基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验。即通过数学教学达到以下要求:掌握数学基础知识;训练数学基本技能;领悟数学基本思想;积累数学基本活动经验。          双基教学的历史贡献是巨大

2、的,是我们国家教育的一个重要特色,这造就我国的学生在一些测试中优异的成绩,同时也有人认为,这也让我们的学生成为全球最优秀的“学习者”。而我们的学生却出现:1、缺乏发现问题的能力对学生而言,发现问题更多地是指发现了书本上不曾教过的新方法、新观点、新途径以及知道了以前不曾知道的新东西。2、提出问题的能力     将某些问题用数学语言表达出来的能力,核心在于数学的抽象、建模的相关能力,在发现问题的基础上提出问题,需要逻辑推理和理论抽象、概括。在错综复杂事物中抓住问题的核心进行条分缕析的陈述,并给出解决问题的建议,而不是一件简单的事情。提出问题的关键是能够认清问题、概括问题。将现实问题抽象出

3、数学模型,这其中就运用了数学最基本的思想。  何谓数学的基本思想?它的内涵是什么?这和以前常常提到的数学思想方法、数学方法的教学有什么联系和区别?小学阶段的数学的基本思想主要有哪些?如何体现在教材中?又应怎样渗透在教学中?一、基本数学思想概述1. 数学思想的基本内涵     谈到数学思想,人们很容易想到数学思想方法,而且容易将数学思想和数学思想方法发生混淆。通常认为,在中小学数学中,数学思想方法具体表现为三个不同的层次:解决具体问题的思想方法,如消元法、代入法、配方法和待定系数法;逻辑方面的思想方法,如分析法、综合法、演绎法、归纳法和类比法等;一般性的数学思想方法,如公理化思想方法、

4、数学模型化思想方法等。这些都是数学思想方法,而不是基本数学思想。数学的基本思想,是数学产生和发展所必需依靠的、必须依赖的思想,同时也是学习过数学的人应当具备的思维特征,这些特征表现在人们分析和解决日常生活问题的过程当中。数学思想与数学方法    数学思想是数学观念的系统化,具有概括性和普遍性,它帮助人们在数学活动中确立正确的观念、方向和依据,使数学活动沿着有效的思维轨道运演,指导方法的运用;而数学方法指向数学实践活动,是数学思想的表现形式和得以实现的手段,具有操作性和具体性,为数学问题的求解和数学知识的获取提供了可能。   数学思想在数学活动中起决策作用;数学方法在数学活动中起“渡船

5、”作用。   数学思想是内隐的;而数学方法是外显的。   数学思想比数学方法更深刻、更抽象地反映数学对象间的内在关系,是数学方法的进一步的概括和升华   基本数学思想应该是普适性的、一般性的、数学学科特有或者比较突出的数学思想,是数学中的核心思想。   鉴于此,《标准(2011版)》将基本数学思想界定为:抽象思想、推理思想和模型思想。其实对基本为数学思想的看法受到一定数学观的影响。当然审美的思想等还有其他的数学思想。1) 抽象思想,是指数学从现实的材料中抽象出数量关系和空间形式进行研究,而不是研究现实世界的具体存在的事物本身。数学研究的是抽象了的对象,这些“抽象了的对象”来源于现实世

6、界,来源于人们的感性经验,通过直观和抽象得到的。通过抽象,“人们把外部世界界与数学有关的东西抽象到数学内部,形成数学研究的对象”。我们可以想一想数学中的研究“对象”——?2)推理思想,是指从一个命题或者判断到另一个命题或者判断的思维过程。当命题或者判断的内涵之间具有某种传递性的推理叫做逻辑推理。人们通过逻辑推理,能够得出数学研究对象之间的逻辑关系,并使用抽象化了的语言和符号来表示这种逻辑关系,形成数学的各种命题、定理和运算法则,构建了数学的知识体系。通过推理,“人们得到数学的命题和计算方法,促进数学内部的发展”,促进了数学自身的发展,构建了数学的大厦正因为数学研究的对象是抽象的概念,

7、数学研究的基本方法是推理,而不是实验。三段论,是数学推理的基本形式    公理化的方法是建构数学知识体系的基本方法。通过原始概念(不加定义的概念)、公理(不加证明的基本事实),给新的概念下定义,推导出数学中新的公式、定理、法则。数学中的公理化方法成为整个数学的发展的一种重要方法。这在初中开始,运用基本事实(扩大的公理体系),来引进平面几何的相关知识。逻辑推理并不是数学推理的唯一形式。3)模型思想,是指运用数学的语言、知识和思想去研究和描述现实世界的典型问题

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