数学基本思想及其案例分析

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1、数学基本思想及其案例分析                                                                               曹一鸣    北京师范大学数学科学学院            《标准（2011版）》关于课程的总目标中指出：“学会独立思考，体会数学的基本思想和思维方式。”把数学教学中的“双基”：基础知识与基本技能；发展为“四基”：基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验。即通过数学教学达到以下要求：掌握数学基础知识；训练数学基本技能；领悟数学基本思想；积累数学基本活动经验。          双基教学的历史贡献是巨大

2、的，是我们国家教育的一个重要特色，这造就我国的学生在一些测试中优异的成绩，同时也有人认为，这也让我们的学生成为全球最优秀的“学习者”。而我们的学生却出现：1、缺乏发现问题的能力对学生而言，发现问题更多地是指发现了书本上不曾教过的新方法、新观点、新途径以及知道了以前不曾知道的新东西。2、提出问题的能力     将某些问题用数学语言表达出来的能力，核心在于数学的抽象、建模的相关能力，在发现问题的基础上提出问题，需要逻辑推理和理论抽象、概括。在错综复杂事物中抓住问题的核心进行条分缕析的陈述，并给出解决问题的建议，而不是一件简单的事情。提出问题的关键是能够认清问题、概括问题。将现实问题抽象出

3、数学模型，这其中就运用了数学最基本的思想。  何谓数学的基本思想？它的内涵是什么？这和以前常常提到的数学思想方法、数学方法的教学有什么联系和区别？小学阶段的数学的基本思想主要有哪些？如何体现在教材中？又应怎样渗透在教学中？一、基本数学思想概述1. 数学思想的基本内涵     谈到数学思想，人们很容易想到数学思想方法，而且容易将数学思想和数学思想方法发生混淆。通常认为，在中小学数学中，数学思想方法具体表现为三个不同的层次：解决具体问题的思想方法，如消元法、代入法、配方法和待定系数法；逻辑方面的思想方法，如分析法、综合法、演绎法、归纳法和类比法等；一般性的数学思想方法，如公理化思想方法、

4、数学模型化思想方法等。这些都是数学思想方法，而不是基本数学思想。数学的基本思想，是数学产生和发展所必需依靠的、必须依赖的思想，同时也是学习过数学的人应当具备的思维特征，这些特征表现在人们分析和解决日常生活问题的过程当中。数学思想与数学方法    数学思想是数学观念的系统化，具有概括性和普遍性,它帮助人们在数学活动中确立正确的观念、方向和依据，使数学活动沿着有效的思维轨道运演，指导方法的运用；而数学方法指向数学实践活动，是数学思想的表现形式和得以实现的手段,具有操作性和具体性，为数学问题的求解和数学知识的获取提供了可能。   数学思想在数学活动中起决策作用；数学方法在数学活动中起“渡船

5、”作用。   数学思想是内隐的；而数学方法是外显的。   数学思想比数学方法更深刻、更抽象地反映数学对象间的内在关系,是数学方法的进一步的概括和升华   基本数学思想应该是普适性的、一般性的、数学学科特有或者比较突出的数学思想，是数学中的核心思想。   鉴于此，《标准（2011版）》将基本数学思想界定为：抽象思想、推理思想和模型思想。其实对基本为数学思想的看法受到一定数学观的影响。当然审美的思想等还有其他的数学思想。1) 抽象思想，是指数学从现实的材料中抽象出数量关系和空间形式进行研究，而不是研究现实世界的具体存在的事物本身。数学研究的是抽象了的对象，这些“抽象了的对象”来源于现实世

6、界，来源于人们的感性经验，通过直观和抽象得到的。通过抽象，“人们把外部世界界与数学有关的东西抽象到数学内部，形成数学研究的对象”。我们可以想一想数学中的研究“对象”——？2）推理思想，是指从一个命题或者判断到另一个命题或者判断的思维过程。当命题或者判断的内涵之间具有某种传递性的推理叫做逻辑推理。人们通过逻辑推理，能够得出数学研究对象之间的逻辑关系，并使用抽象化了的语言和符号来表示这种逻辑关系，形成数学的各种命题、定理和运算法则，构建了数学的知识体系。通过推理，“人们得到数学的命题和计算方法，促进数学内部的发展”，促进了数学自身的发展，构建了数学的大厦正因为数学研究的对象是抽象的概念，

7、数学研究的基本方法是推理，而不是实验。三段论，是数学推理的基本形式    公理化的方法是建构数学知识体系的基本方法。通过原始概念（不加定义的概念）、公理（不加证明的基本事实），给新的概念下定义，推导出数学中新的公式、定理、法则。数学中的公理化方法成为整个数学的发展的一种重要方法。这在初中开始，运用基本事实（扩大的公理体系），来引进平面几何的相关知识。逻辑推理并不是数学推理的唯一形式。3)模型思想，是指运用数学的语言、知识和思想去研究和描述现实世界的典型问题