文科数学回归分析的基本思想及其初步应用

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1、1.1回归分析的基本思想及其初步应用必修3(第二章统计)知识结构收集数据(随机抽样)整理、分析数据估计、推断简单随机抽样分层抽样系统抽样用样本估计总体变量间的相关关系用样本的频率分布估计总体分布用样本数字特征估计总体数字特征线性回归分析1、两个变量的关系不相关相关关系函数关系线性相关非线性相关现实生活中两个变量间的关系有哪些呢？相关关系：对于两个变量，当自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系。思考：相关关系与函数关系有怎样的不同？函数关系中的两个变量间是一种确定性关系相关关系是一种非确定性关系函数关系是一种理想的关系模型相关关系在现实生活中大量存在

2、，是更一般的情况2、最小二乘估计(使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫最小二乘法)最小二乘估计下的线性回归直线方程：回归直线必过样本点的中心线性回归方程中，的意义是x每增加一个单位，y就平均增加个单位C3、回归分析的基本步骤:画散点图求回归方程预报、决策这种方法称为回归分析.回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法.回归分析知识结构图问题背景分析线性回归模型两个变量线性相关最小二乘法两个变量非线性相关非线性回归模型残差分析散点图应用注：虚线表示高中阶段不涉及的关系比《数学3》中“回归”增加的内容数学３——统计画散点图了解最小二乘法的思想求

3、回归直线方程y＝bx＋a用回归直线方程解决应用问题选修1-2——统计案例引入线性回归模型了解模型中随机误差项e产生的原因了解相关指数R2和模型拟合的效果之间的关系了解残差图的作用利用线性回归模型解决一类非线性回归问题正确理解分析方法与结果选修1-2——统计案例引入线性回归模型了解模型中随机误差项e产生的原因了解相关指数R2和模型拟合的效果之间的关系了解残差图的作用利用线性回归模型解决一类非线性回归问题正确理解分析方法与结果例1从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表1-1所示。5943616454505748体重/kg1701551651751701571651

4、65身高/cm87654321编号求根据女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为172cm的女大学生的体重。解：选取身高为自变量x，体重为因变量y，作散点图：探究：身高为172cm的女大学生的体重一定是60.316kg吗？如果不是，你能解析一下原因吗？答：用这个回归方程不能给出每个身高为172cm的女大学生的体重的预测值，只能给出她们平均体重的估计值。由于所有的样本点不共线，而只是散布在某一直线的附近，所以身高和体重的关系可以用线性回归模型来表示：其中a和b为模型的未知参数，e称为随机误差.函数模型与“回归模型”的关系函数模型：因变量y完全由自变量x确定回归模

5、型：预报变量y完全由解释变量x和随机误差e确定注：e产生的主要原因：1、忽略了其它因素的影响：影响身高y的因素不只是体重x，可能还包括遗传基因、饮食习惯、生长环境等因素；2、用线性回归模型近似真实模型所引起的误差；3、身高y的观测误差。思考:产生随机误差项e的原因是什么？在线性回归模型中，e是用预报真实值y的随机误差,它是一个不可观测的量，那么应如何研究随机误差呢？残差：一般地，对于样本点它们的随机误差为其估计值为，称为相应于点的残差如何发现数据中的错误？如何衡量随机模型的拟合效果？残差图的制作和作用：制作：坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择.横轴为编号：可以考察残差

6、与编号次序之间的关系，常用于调查数据错误.横轴为解释变量：可以考察残差与解释变量的关系，常用于研究模型是否有改进的余地.作用：判断模型的适用性若模型选择得正确，残差图中的点应该分布在以横轴为中心的带形区域.下面表格列出了女大学生身高和体重的原始数据以及相应的残差数据。编号12345678身高/cm165165157170175165155170体重/kg4857505464614359残差-6.3732.6272.419-4.6181.1376.627-2.8830.382身高与体重残差图异常点几点说明：第一个样本点和第6个样本点的残差比较大，需要确认在采集过程中是否有人为

7、的错误。如果数据采集有错误，就予以纠正，然后再重新利用线性回归模型拟合数据；如果数据采集没有错误，则需要寻找其他的原因。另外，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型计较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高。错误数据模型问题误差与残差，这两个概念在某程度上具有很大的相似性，都是衡量不确定性的指标，可是两者又存在区别。误差与测量有关，误差大小可以衡量测量的准确性，误差越大则表示测量越不准确。误差分为两类：系统误差与随机误差。其中，系统误差与测量方案有关，通过改进测量