高中数学第三章推理与证明31归纳与类比推理与证明的渗透应用素材北师大版选修1-2

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1、推理与证明的渗透应用推理与证明是数学的一般思考方式，也是学数学、做数学的基本功。将推理与证明融合渗透到其它知识中，既体现了知识间的密切联系，也是近年高考考查的热点；推理与证明以其独有的技巧与方法，在高考中占有着特殊的地位和作用。下面选取几个知识视角，举例说明推理与证明在其它知识屮的渗透应用。一、归纳推理与数列例1设｛&』是首项为1的正项数列，且（n+1）务』一皿J+a叶2%=0（"丘NJ,则它的通项公式弧=。解析：由2吐'一商禺+引屯■0,得逊=£（a2=—1舍去）；3由3^'—乙屯彳+叱％■0,得&£

2、=?（a2=一£舍去）；■■“由—彳耳彳+令耳■工得a4=-（a2=-•；舍去）。4E所以推呱吒，代入等式验证，等式成立。点评：本题是根据数列的递推关系式，利用归纳推理归纳猜想出数列的通项公式。归纳推理的过程通常是：选取令观察分析推测结论；其关键在于观察过程中如何发现规律，推测出一般性命题。学习中要善于运用归纳推理，大胆猜想和发现。例2—同学在电脑中打出如下图形（o表示空心圆，•表示实心圆）:oeoo^o0040000若将此若干个圆依此规律继续下去，得到一系列的圆，那么前Z0仙个圆屮实心圆的个数为。解析

3、：将这些圆分段处理，第一段两个圆、第二段三个圆、第三段四个圆・••可以看出每一段的最后一个圆都是实心圆，由于本题求前Z006个圆屮有多少个实心圆，因此，需找到笫2008个圆所在的段数。2+3+-+6Z=呼K61=195Z

4、类比上述性质，可以得蒯圆类似的性质为。解析：圆的性质中，经过圆上一点M(x0.%)的切线方程就是圆的方程中的一个k与y分别用M(x0,y』的横坐标与纵坐标替换。故可得椭圆^+^=1类似的性质为：过椭圆上一点沪y訂的切线方程为：管+晋=1。点评：本题通过圆的一个性质类比得到椭圆一个类似性质，是一种平行类比。在数学中,类比是发现概念、方法、定理和公式的重要手段。类比在数学中应用广泛。数与式、平面与空间、一元与多元、低次与高次、相等与不等、有限与无限之间有不少结论，都是先用类比法猜想，而后加以证明的。例4如图

5、所示，面积为S的平面凸四边形的第1条边的边长记为at(l=1.2.丸4),此四边形内任一点P到第I条边的距离记为hjC=It2.3.4),若?=于=[=?=1?,则治曲/=¥。类比以上性质，体积为V的三棱锥的第1个面的面积记为SL(l=It4),此三棱锥内任一点Q到第]个面的距离记为=2>3>4),若?=¥=¥=?=&则£站°恥等于o解析：因为V=

6、（SaH-+SgHs+SbHr+«,S2SF4所以V=ItKH!+2KH2+3KHS+4KHJ,所以Hc+2H2+3HS+4H4=^-，即点评：本题是市平面

7、向空间的类比。类比推理的关键是找到合适的类比对象。一般平面屮的一些元素与空间屮的一些元素的类比列表如下：平面空间点线线面圆球三角形三棱锥角二面角面积体积周长表面积■■■合情推理对思维能力有较高的要求，特别是类比题，成为近年高考命题川的热点题型,是高考命题的一道亮丽的风景。三、演绎推理、直接证明与间接证明与不等式例5设函数琳=且取=-£,3a>2c>2&o求证:(1)a>0且'—弓；(2)函数血在区间2｝内至少有一个零点；(3)设&4孔、总是函数修)的两个零点，则海£

8、旳*

9、兀乎。解析：（1）•••faj

10、ha+b+Ch-#，A3a+2b+2c=：9o又3a>Zc>Z6,A3a>0,2b<0,a>Q,to<0.乂2c=—3a—2b,3ci>2c>2E,/•3a>—3a—2i?>2b°・・・a>a,・・・7牛-$(2)vf(a)=c,HZ)=4a+2b+c=s-c,①当oow,va>o,.-.o)=c>0且=・•・函数他"在(Ot1)内至少有一个零点。②当c^O时，Va>0,・・・匱0=・¥<：0且低2)=a-ck0,.・.函数偸)在O◎内至少有一个零点。综合①、②得，蚀在区间(％2)内至少有一个零点。(3

11、)・.・也、也是函数f国的两个零点，贝iJXj、也是方程ax£+bx+c=O的两根。D2~S—$<—<—V?£

12、x3_Xg

13、<。点评：本题是二次函数、函数零点与不等式结合的代数推理题，运用了简化三段论形式进行推理论证，体现了演绎推理的应用。四、数学归纳法与数列、不等式例6已知函数(00=xs+x—1.血g是方程=OftMSUR(a>p),f曲是『国的导数，设的=・b叶：!=%-严^(n=L乙為・■)■(1)求优、目的值；(2)证明：对任意的