第八次习题课讨论题解答

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1、第八次习题课讨论题参考解答5月21日和22日本次习题课主要讨论线积分和面积分的计算，以及Green定理的应用。一．曲线积分1．计算,其中是正方形.解:设,解答完毕。注：如果经验丰富的话，一眼看出积分为零(根据对称性).2．设为椭圆,其周长记为。求解法一：椭圆的方程可写成。于是由对称性,,故.解法二：椭圆：写作参数式，，。于是所求第一型曲线积分为。而.因此原积分为。解答完毕。11/113．计算第二型曲线积分，其中是(1)，顺时针定向．(2)，顺时针定向．(3)从到的有向线段．解：记，，则，即向量场无旋。（1）设是椭圆，顺时针为正方向．由于向量场在椭

2、圆盘上连续可微，根据Green公式得．（2）设是闭曲线，顺时针定向．我们取正数充分小，使得圆周包含在之内，并规定逆时针为正向．计算上的积分比较容易：。而由格林公式可知．（3）在（1）的解答中，已经证明了场无旋，从而场在右半平面上保守，即线积分11/11在右半平面上积分与路径无关。因此可取积分路径为两个直线段：点到点的直线段，以及点到点的直线段。于是所求积分为．解答完毕。4．设在内有连续的偏导数，且满足方程。进一步假设．求极限，这里为圆周的单位外法向量，。解：注意方向导数可写作．于是利用格林公式的散度形式得。对上式最后的二重积分应用中值定理得，其中

3、点。于是。解答完毕。5．设函数在上半平面内具有连续偏导数,且对任意的，对任意点，都有（此即是次齐次函数）。证明对内11/11的任意分段光滑的有向简单闭曲线L,都有。解：在等式两边关于t求导得，，。令得（此即齐次函数的Euler公式）。这个等式意味着平面向量场无旋,即。再注意域为单连通的。因此场在域上的任何闭路径积分为零。故。证毕。6.计算积分，其中为球面片，的边界曲线，方向是从点到点，到点，再回到。（课本习题4.4题3（4），page192）解：如图，利用球坐标参数可以写成，（参数增为正），，（参数减为正），11/11，（参数增为正），（注意在上

4、）由x-y-z循环对称，原式=.解答完毕。6.设为闭曲线：，逆时针为正向。计算。解：利用，，再将曲线分成4段直线段，，，x减少为正向；，，x减少为正向；，，x增加为正向；，，x增加为正向；，，，，11/11综上，原式．注：利用Green公式，后面一段关于曲线积分的计算可以大大简化：记围成的区域为，则利用和Green公式，得。解答完毕。二．曲面积分1．计算．其中是锥体的边界．解：分别记和为锥体的侧面和上底面，则在上，（）在上，（）．于是，．于是所求面积分为．解答完毕。2．求,其中为单位球面.11/11解:其中是球的表面积.由对称性可知,,故。解答完

5、毕。3．计算螺旋面：，，（）的面积。解：。解答完毕。4．求圆柱面被抛物柱面及平面所截部分的侧面积。解法一：（利用第一类曲线积分的几何意义）侧面积,其中为空间曲线在平面上的投影，即平面上的园：。其参数方程为，，，它的弧长微分。于是。解法二：（第一类曲面积分）由于所截部分关于平面对称，即点当且仅当。位于部分的曲面方程为，，其中。于是所求面积为。解答完毕。11/115．计算第一型曲面积分,以及第二型曲面积分,其中曲面为球面；定向曲面的正法向向外。解：分别记，为的上半球面和下半球面，它们的方程为：，：，考虑第一型曲面积分。根据被积函数和球面的对称性，我们

6、有。因此。对于上半球面，面积元素。于是==。考虑第二型曲面积分。。注意到，以及，故。11/11解答完毕。6．记为锥面被柱面所截的有限部分。规定曲面的正向向下，所得的定向曲面记为。求下面两个积分的值。(i)。(ii).解：(i)简单计算知锥面的面积元素为。因此(ii)不难计算曲面的单位正法向量为。于是根据第二曲面积分的定义有解答完毕。7.设一元函数于整个实轴上连续，代表单位球面。证明Poisson公式，这里。（课本习题4.3第11题，page187）。为了证明Poisson公式，我们需要先建立一个Lemma。Lemma：设是一个正则的参数曲面。记是

7、在一个正交变换（正交矩阵）下的象，11/11即。记，，则对任何上连续函数，我们有。（这个Lemma大致的意思是说，曲面的面积元素关于正交变换是不变的。）证明：由假设有正则的参数表示，，为平面有界闭域。由此导出曲面的一个参数表示，。于是我们可以确定两个曲面和关于上述参数表示的Gauss系数，，，和，，：，，。，同理可证，。因此我们有。于是。证毕。Poisson公式的证明：取一个三阶正交矩阵，使得的第一行为。作正交变换，其中记号，的意义同上。于是。此外，在这个正交变换下，单位球面仍为单位球面。根据上述Lemma可知11/11。我们来考虑上式右边的积分

8、。根据对称性知。考虑上式右边的积分。简单计算可知曲面的面积元素为。于是。证毕。11/11