第十二次习题课讨论题参考解答

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1、第十二次习题课讨论题参考解答本次习题课内容有一．Taylor级数展开（幂级数展开）。二．Fourier级数展开一．Taylor级数展开注1．将一个解析函数展为Taylor级数（幂级数），最常用同时也是最方便的方法是对某个已知函数的Taylor级数，经过逐项求导或逐项积分，来得到所求的Taylor级数。（很少情形下是通过计算函数的导数而得到Taylor级数）注2．牢记几个基本函数的Taylor级数的展开式，如，，,，，见课本例6.3.6，第287页。1.设函数的Maclaurin级数为。令，求的Maclaurin级数。解:由于级数是等比级数，故不难求得，。于是，。对函数的T

2、aylor级数展开式两边求导得。于是我们得到，。解答完毕。2.设,求.解:考虑函数在处的Taylor级数展开式：。这表明，，，。注意，正整数可以表为。因此。解答完毕。7/71.求函数在处的Taylor级数展式，并求其收敛域。解：先考虑函数在点处的Taylor级数展开：，。即，。对上述等式两边求导得，。于上式两边乘以得，。不难看出，在端点和处，上述Taylor级数均发散。故上述Taylor级数的收敛域为。解答完毕。2.求函数在处的幂级数展式。解：为求函数在处的幂级数，我们将函数表为如下形式。由Taylor级数展开式得。于是我们有。解答完毕。3.求函数在处的幂级数。解：简单计

3、算表明。将导函数在点处作Taylor级数展开得，.7/7再对上式两边积分并注意到，我们就得到，.解答完毕。一．Fourier级数注：关于Fourier级数的两个基本要求：(i)写出给定函数的Fourier级数；(ii)确定Fourier级数的收敛情况（根据Dirichlet收敛定理）1．设，求的Fourier级数。解：，，。，。于是所求Fourier级数为。解答完毕。2．设，求Fourier级数。解：经过计算得的Fourier级数为。解答完毕。3．设，求的Fourier级数。解：经过计算得到Fourier级数为7/7。解答完毕。4.证明等式，。证明:考虑函数在上Fouri

4、er级数。由于是偶函数。因此系数，。经过积分计算得，，。由于在上连续可微,故由Dirichlet收敛定理可知等式成立。证毕。5．设，，且记函数在上的正弦级数的和函数。求的值.解:由于正弦级数是对作奇延拓后的Fourier级数.根据Dirichlet收敛定理知，因为在点处连续。解答完毕。6．将函数，按下列要求展开成Fourier级数，并求出和函数在上的值。(1)按余弦Fourier展开;(2)按正弦Fourier展开.解:(1)对偶延拓,故系数，。简单计算得，。于是所求的余弦Fourier级数为。根据Dirichlet收敛定理可知和函数在区间上的值为，。7/7(2)对奇延拓

5、,故系数，。简单计算得。所求的正弦级数为。根据Dirichlet收敛定理可知和函数的值为，，。解答完毕。6．设函数是周期为的周期函数，在上分段连续。记，，是的Fourier系数。定义，。计算函数的Fourier系数。解：令。根据Fourier级数逐项积分定理可知。另一方面，。。于是的Fourier系数为，，。（注：严格说来，这里我们应用了连续函数的Fourier级数的唯一性）解答完毕。8．求符号函数在区间上的Fourier级数。7/7解：函数为奇函数，故，。，。，。注：将自变量代换为（自变量伸缩），即可得到一般区间上的展开：，解答完毕。6．设为周期的连续函数，令；已知为的

6、Fourier展开系数，求的Fourier展开系数。解：考虑系数的计算。先交换积分次序，然后将积分变量代换为，注意周期函数在任意一个周期区间上积分值不变，，同理计算，7/7；综上得到。注：特别当右端级数收敛时，取，便得到Parseval恒等式。解答完毕。7/7