第六次习题课讨论题解答

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1、第六次习题课讨论题参考解答5月7日和8日本次习题课讨论题涉及以下几问题。一．先化简积分再作计算。二．积分不等式三．三重积分计算四．广义重积分计算一：先化简积分再作计算。注：在某些情况下，对积分区域作适当的分割，可简化积分计算。特别是当积分域和被积数具有对称性时。这样可显著提高计算效率。1．计算二重积分，这里为闭圆盘。解：由对称性有。利用极坐标我们做如下计算。因此原积分。解答完毕。2．求,其中,为取整函数。8/8解：为方便对作分解，如图。于是解答完毕。3．计算,。解：记，，，则或者解答完毕。二．积分不等式1．设二元函数在开单位圆盘上是的，在开单位圆盘上连续。若函数在单位圆周上取值为常数零，证明8

2、/8。（第三章总复习题题10,page171.）。证明：将重积分化为累次积分，然后再做分部积分，并利用假设条件。。同理可证。因此。证毕2.设函数及其偏导数在平面域上连续，其中域可表为：，，这里和为上的连续函数，且。进一步假设，，证明存在常数，使得（这个不等式常称作Poincare不等式）证明：根据假设和Newton—Leibniz公式得。两边平方并应用Cauchy-Schwarz不等式得。两边关于在区间上积分得8/8记。则。对上述不等式关于在区间上积分得。再将上式两边的累次积分换成重积分，即得所要证明的Poincare不等式。证毕。二．三重积分计算1．求由曲面所围立体的体积。解：记立体的体积为

3、。由观察可知平面裁截立体所得的截面为圆盘，记为，其圆心位于，半径为，其面积为。于是。解答完毕。2．设为实对称正定矩阵，,则表示三维空间的一个椭球面。(i)证明椭球面所包围立体的体积为。(ii)计算积分8/8（第三章总复习题题14，page172）证明：(i)由于对称正定，因此存在可逆矩阵，使得。立体在线性变换作用下的象集是单位球。这是因为。于是。根据关系，我们有，于是。故。证毕。(ii)由于对称正定，因此存在正交矩阵，使得，其中为对角阵，对角元分别为的三个特征值。我们记这三个特征值为，，。他们均为正的。于是在正交变换下，我们有.再对上述积分做广义球坐标变换，，得。由于。因此。解答完毕。3．计算

4、三重积分，其中为由上半球面和上半锥面所围成的立体.8/8解：由对称性可知和。因此所求积分为。以下我们分别用不同方法来求积分.方法一：利用球坐标我们求得方法二：直接在直角坐标系计算。以下我们采用先二后一方法求积分。具体说来，以平面裁截立体，所得截面在平面的投影为闭圆盘。于是。解答完毕。二．广义重积分计算1．计算二重广义积分。（第三章总复习题题7(2),page171.）解：作极坐标变换：，，则所求积分为注意。于是我们得到。解答完毕。8/81．计算二重广义积分。（第三章总复习题题7(3),page171）解：注意。考虑做变换，。其逆变换为，。它的Jacobi行列式是常数1。于是原积分等于。解答完毕

5、。3．计算广义三重积分，其中为无穷长的方体：，。解：将上述积分化为如下累次积分(先一后二)再将内层积分的被积函数分解为两个简单分式之差，。于是。（*）由此得。注：上述三重积分有两处奇性：处，以及（轴）上。它们的收敛性不难证明。另外积分（*）得最后第二个等式当时仍然成立。这可以直接证明。或者通8/8过连续性证明。解答完毕。8/8