第六次习题课讨论题

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1、第六次习题课讨论题本次习题课主要讨论导数的初步应用。具体说来有五个方面的内容：一．关于中值定理的补充二．证明不等式三．计算函数极限（利用L’Hospital法则或Taylor展式）四．研究曲线性质五．零点问题一．关于中值定理的补充题1.广义Rolle定理（习题4.1题11,p.95）(1)设函数在上可导，且满足.求证：存在,使得。(2)设函数在上可导，且满足.求证：存在使。（3）问在结论（2）中，将区间改作或，结论是否仍然成立？题2．中间点的极限位置（第4章总复习题题10，p.125）设在内二阶可导且。试证:（1）对内的任一点存在唯

2、一的，使；（2）.注：上述结论有如下推广：设在内阶可导且。则（1）对内的任一点，存在唯一，使。（2）.二．证明不等式题1.证明不等式，。题2.证明不等式，。3/3题3.证明不等式,。题4.（第4章总复习题题11,p.125）设函数在闭区间上二阶可导，且。进一步假设。证明存在，使得。三．计算函数极限（利用L’Hospital法则或Taylor展式）题1.（第4章总复习题题16,p.125）求极限(i)；(ii)题2.设在某邻域内可导，且，求极限。题3.假设极限，求极限。题4.设在上处处可导且。求常数，使得。(*)四．研究曲线性质题1.

3、求的值，使得曲线与曲线有唯一的公共切线，并求切点和公切线方程。题2.求一个单位圆的位置，该单位圆的圆心在轴上，并位于抛物线的上方，且与抛物线恰好有2个切点。题3.证明星形线上任一点的切线被坐标轴截下的部分的长度为常数，这里。3/3五．零点问题题1.设在连续，在可微，且。证明存在，使。题2．设函数在连续，在二阶可导，且，。求证（1），；（2），使得。题3．对任意正整数，证明方程至多有三个不同的零点。题4.设函数在上可导，且满足和，。证明存在唯一的，使得。题5.设在上连续，且，求证存在，使得。题6.设函数在上连续，在内可导，且。证明存在

4、使。题7.设函数在上连续，在内可导，且，。证明（1）存在使得；（2）存在两个不同的点，使得注：结论（2）中出现了两个不定的中间点和。这提示我们可能需要两次使用中值定理。3/3