活用课本习题,培养学生数学素养

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1、活用课本习题，提高学生数学素养胡正梅云南省武定县万德中学【摘要】：数学教学中离不开例题、习题，而教材中的许多例题、习题都具有典型性、示范性和探索性，所蕴含的内容也比较丰富，对这类型的习题不能简单地就题论题，而应进行灵活的变化、引申和拓展，有利于提高学生数学素养。本文以北师大版七年级数学上册第四章复习题128页第10题为例，引导学生探索并挖掘所蕴含的数学思想方法，进一步总结推广，让学生形成一种“数学头脑”，会用“数学的眼睛”去观察问题、思考问题、提出问题和解决问题。从而提高学生数学素养，为学生数学学习的可持续与发展提供动力。【关键词】：习题、数学思想、分类讨论、数学素养

2、题目：如图，在四边形ABCD内找一点0,使它到四边形四个顶点的距离之和最小，并说说你的理由。BC教材编写的意图是让学生根据：两点之间，线段最短，找到四边形两对角线的交点到四边形四个顶点的距离之和最小。然而要准确完整地回答该题，对七年级学生是不容易的，解决此题既要用到不等式这些八年级才能系统学习的知识，又要应用分类讨论的数学思想方法。因此,大多数教师基本是不用或直接告诉学生答案。这样的做法是没有领会编者意图的表现，更不利于提高学生数学素养。如何引导学生学生探索解答，如何去挖掘该题中所蕴含的数学思想方法，进一步总结推广,这是值得思考的问题。下面谈谈笔者的思考与做法。一、探

3、索解题思路考察图1中的点0,图1中的点0是不是我们要找的到边形四U!环节一：寻找特殊点P个顶点的距离Z和最小的点呢？这就要看四边形ABCD内是否还有其他点到四边形四个顶点的距离之和比04+03+0C+0D还要小。让学生动手，可以找到不同的点，到四边形四个顶点的距离之和比OA+OB+OC+OQ还要小。说明图1中的点0不是我们要找的点。那么，哪个点才是我们要找的点呢？我们选择其屮较特殊的一点来加以研究，如图2,连接AC、BD,设交点为P。由两点之间，线段最短，可得：OA+OOAC,0B+0D>BDo所以0A+0C+0B+0D>AC+BD。这说明:点P到四边形四个顶点的距离

4、之和比点0到四边形四个顶点的距离之和要小。那么点P是否就是我们要找的点呢?环节二：说明理由要说明这个问题，必须说明在四边形ABCD内所有的点到四个顶点的距离之和比PA+PB+PC+PD大。而在四边形ABCD内,除点P夕卜，还有无数个点，要一一进行比较的话，是比不完的。怎么办呢？如果将这无数个点分分类，一类一类的比较，这样就会简单、清晰得多。四边形ABCD内部的点，可以分为四类:第一类：既不在AC上，也不在BD上；第二类：在AC上，但不在BD±；第三类：在BD上，但不在AC上；第四类：特殊点P（AC与BD的交点）。第一类的点也有无数个，同样不可能将每个点都进行比较，怎么

5、办？我们可以任意取一个点E（如图3）,由于点E是任意取的，所以它能代表第一类的所有点。这样，只要说明EA+EB+EC+ED>PA+PB+PC+PD就可以了。根据两点之间，线段最短可知，第一类的点都不符合要求。即满足EA+EB+EC+EI)>PA+PB+PC+PD。第二类的点也有无数个，同样任意取一个点F（如图4）。因为FA+FC二AC,FB+FD>BD；所以FA+FC+FB+FD>AC+BD二PA+PB+PC+PD。说明第二类的点也都不符合要求。第三类的点与第二类的点具有完全相同的结论。笫四类的点是唯一的，就是点P。因此，当点P为两对角线的交点时，点P到四边形ABCD

6、四个顶点A、B、C、D的距离之和最小。二、提炼数学思想方法，关注数学学习本质解决本题的过程中，用到一种重要的数学思想方法——“分类讨论”思想，在今后的学习中，我们将经常接触并应用它。“分类讨论”思想实际上是一种化整为零、分别对待、各个击破的思维策略，也是将复杂问题分解成若干简单问题逐个分别解决的策略。通常，当解决的问题包含多种情况，又不能一概而论时，就需要进行分类讨论。分类应建立一个分类标准，一般视具体情况而定，遵循一些基本原则，分类前后标准一致，做到不重复不遗漏。分类思想更是一种解题策略，它有助于学生发现解题思路并掌握技能、技巧，做到举一反三、触类旁通，对提高学生思

7、维能力、解决问题的能力有很大帮助，这对促进学生思维发展具有不可低估的作用，教学中有必要进行潜移默化的渗透，进而引导学生从中获得自然而持续的学习动力。三、推广运用，提高数学素养《数学课程标准》指出：数学思想蕴含在数学知识形成、发展和应用的过程中，学生在积极参与教学活动的过程中，通过独立思考、合作交流，逐步感悟数学思想。因此，教学时教师在具体的数学知识屮渗透数学思想方法，使学生对思想方法有初步的感知和领悟，能使所学的知识形成有序的知识链。为此，举例进行强化运用。例1、如图5,直线上有A、B、C、D、E、F、G七个点。问：图中共有多少条线段？ABCDEFG