单自由度系统振动的理论及应用课件

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1、第二章单自由度系统振动的理论及应用§2-1单自由度系统振动微分方程式的建立2-1.1纵向振动微分方程式的建立系统振动时,振动质量m的位移x,速度x.和加速度x..会产生弹性力kx,阻尼力cx.和惯性力mx..,它们分别与振动质量的位移,速度和加速度成正比,但方向相反.按牛顿第二定律:作用于质点上所有力的合力等于该质点的质量与沿合力方向的加速度的乘积.把质量块挂上后,弹簧的静变形量为j:所以有:称为单自由度线性纵向振动系统的运动微分方程式,又称单自由度有粘性阻尼的受迫振动方程.可分为如下几种情况进行研究:(1)当c=0,

2、F(t)=0时,该方程为单自由度无阻尼自由振动方程.(2)当F(t)=0时,该方程为单自由度有拈性阻尼的自由振动方程.(3)当c=0时,该方程为单自由度无阻尼受迫振动方程.2-1.2扭转振动微分方程式的建立圆盘的转动惯量为J,在某一时刻t圆盘的角位移为,角速度为.和角加速度为..,在圆盘上施加力矩M(t),系统则作扭转振动,此刻作用于圆盘上的力矩有弹性恢复力矩-k,阻尼力矩c.,外加激振力矩M(t).根据牛顿第二定律:故称为单自由度线性扭转振动系统的运动微分方程式.2-1.3微幅摆动微分方程的建立摆动质量m在任

3、意时刻t的角位移为,角速度为.和角加速度为...系统作微幅摆动时,作用于m上的力矩有弹性恢复力矩-2ka2,阻尼力矩-cl2.,重力力矩-mglsin=mgl和外加力矩M(t).根据牛顿第二定律:由为微幅摆动系统的运动微分方程式.§2-2无阻尼单自由度系统的自由振动设弹簧原长为在重力的作用下刚度系数为k这一位置为平衡位置弹簧的变形为称为静变形当系统受到外界的某种初始干扰作用后,其静平衡状态被破坏,弹性力不再与重力相平衡,产生弹性恢复力使系统产生持续的自由振动.2-2.1自由振动微分方程取静平衡位置为坐标原点,以

4、x表示质量块的位移,并以x轴为系统坐标轴,取向下为正.当质量块离开平衡位置时,在质量块上作用有重力W和弹性恢复力-k(j+x).上式表明：只在恢复力作用下维持的振动称为无阻尼自由振动物体偏离平衡位置于坐标x处将受到与偏离距离成正比而与偏离方向相反的合力恢复力－－无阻尼自由振动微分方程的标准形式令代入其解具有如下形式其中s为待定常数特征方程的两个特征根为:微分方程的通解为:把代入得:令：其中和是积分常数，由运动的起始条件确定2-2.2无阻尼自由振动的特点1.固有频率--周期振动若运动规律x(t)可以写为T为常数－－周期由式自

5、由振动的周期为其中－－振动的频率，表示每秒钟的振动次数。只与表征系统本身特性的质量m和刚度k有关,而与运动的初始条件无关,它是振动系统固有的特性.2.振幅与初相角－－相位（或相位角）表示质点在某瞬时t的位置而0表示质点运动的起始位置－－初相角A表示相对于振动中心点O的最大位移－－振幅将振动的初始条件t=0，代入:3.其他类型的单自由度振动系统图为一扭振系统建立扭转振动微分方程式:则得由材料力学可知,它的扭转刚度为:系统振动的固有圆频率为:系统振动的固有频率为:通解为:将振动的初始条件t=0，代入:例:已知：质量为m＝0.5

6、kg的物体沿光滑斜面无初速度滑下。当物块下落高度h=0.1m时，撞于无质量的弹簧上，并与弹簧不再分离，弹簧刚度系数k=0.8kN/m。倾角求：此系统振动的固有频率和振幅并给出物块的运动方程。解：若物块平衡时，弹簧应有变形量通解为固有频率当物块碰上弹簧时，取时间t=0，作为振动的起点运动方程为已知：如图所示无重弹性梁，当中部放置质量m的物块时，其静挠度为2mm，若将此物块在梁未变形位置处无初速释放。求：系统的振动规律。例:解：此无重弹性梁相当于一弹簧,其静挠度相当于弹簧的静伸长则梁的刚度系数为取其平衡位置为坐标原点,x轴方向铅

7、直向下运动微分方程为设固有频率在初瞬时t=0，物块位于未变形的梁上其坐标重物初速度则振幅为初相角最后得系统的自由振动规律为已知：图为一摆振系统，杆重不计球质量为m。摆对轴O的转动惯量为J，弹簧刚度系数为k。杆于水平位置平衡。求：此系统微小振动的运动微分方程及振动固有频率。例:解：摆于水平平衡处，弹簧已有压缩量由平衡方程以平衡位置为原点，摆绕轴O的转动微分方程为4.计算固有频率的能量法如图所示无阻尼振动系统当系统作自由振动时，运动规律为:速度为:在瞬时t物块的动能为:无阻尼自由振动系统没有能量的损失,振动将永远持续下去.在振动

8、过程中,系统的动能与弹簧的势能不断转换,但总的机械能守恒.因此,可以利用能量守恒原理计算系统的固有频率.若选平衡位置为零势能点，有:对于有重力影响的弹性系统，如果以平衡位置为零势能位置，则重力势能与弹性力势能之和，相当于由平衡位置处计算变形的单独弹性力的势能。当物体处于平衡位置（振动中心）