江苏夏令营-初等数论

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1、初等数论（一）江苏省南菁高级中学　夏建新2009年江苏省高中数学奥林匹克夏令营一、奇偶性分析⑴奇数±奇数＝偶数；偶数±偶数＝偶数；奇数×奇数＝奇数；……⑵奇数的平方都可表示为8m＋1形式；偶数的平方都可表为8m或8m＋4的形式⑶任何一个正整数n，都可以写成n＝2ml的形式，其中m为非负整数，l为奇数。将全体整数分成两类，凡是2的倍数称为偶数，否则称为奇数。有如下性质：这些性质既简单又明显，然而它却能解决数学竞赛中的一些难题。1、在一条直线上相邻两点的距离都等于1的4个点上各有一只青蛙，允许任意一

2、只青蛙以其余三只青蛙中的某一只为中心跳到其对称点上。证明：无论跳动多少次后，四只青蛙所在的点中相邻两点之间的距离不能都等于2008。（2008年西部奥林匹克）如果若干次跳动后，青蛙所在位置中每相邻两只之间的距离都是2008，则要求它们处于具有相同奇偶性的位置上，不可能。证明：将青蛙放在数轴上讨论。不妨设最初四只青蛙所在的位置为1、2、3、4。注意到，处于奇数位置上的青蛙每次跳动后仍处于奇数位置上，处于偶数位置上的青蛙每次跳动后仍处于偶数位置上。因此，任意多次跳动后，四只青蛙中总有两只处于奇数位置

3、上，另两只处于偶数位置上。2、如果可以将正整数1,2,3,…,n填在圆周上，使得依顺时针方向任何两个相邻的数之和，都能够被它们的下一个数整除。求n的所有可能值。（1999年环球城市竞赛）解：考虑n≥3情形当n≥3时，如果圆周上有二个连续偶数，则造成这个圆周上的每一个整数都是偶数(不合)。所以n最多是3，1,2,3这个数任意排在圆周上都可以，所以n＝3。因为圆周上必有一个整数是偶数，而它的逆时针方向的下二个数及顺时针方向的下个数，都必须是奇数。由于1～n中，奇数的个数最多比偶数的个数多1个，所以圆

4、周上最多只有一个偶数，这样奇数有2个，3、已知t为正整数，若2t可以表示成ab±1(其中a,b是大于1的整数)，请找出满足上述条件所有可能的t值。（2008年青少年数学国际城市邀请赛）解：设正整数t，使得2t＝ab±1，显然a为奇数。(1)若b为奇数，则2t＝(a±1)(ab－1ab－2…a＋1)由于a，b均为奇数，而奇数个奇数相加或相减的结果一定是奇数，所以ab－1ab－2…a＋1也是奇数，得知2t＝ab±1＝a±1，故b=1，这与b≥2矛盾。从而只可能ab－1ab－2…a＋1＝1，综上可知，

5、满足题设的2的正整数次幂是23，即t＝3。(2)若b为偶数，令b＝2m，则ab≡1(mod4)。若2t=ab+1，则2t=ab+1≡2(mod4)，从而t=1，故ab=21－1=1，矛盾。若2t=ab－1=(am－1)(am+1)，两个连续偶数之乘积为2的方幂只能是am－1=2，am+1=4，从而a＝3，b＝2m＝2。2t=ab－1=32－1=8。二、质数与合数大于1的整数按它具有因数的情况又可分为质数与合数两类。即对任一整数a＞1，有a＝　　　　　　，其中p1＜p2＜…＜pn均为质数，1、

6、2、…、n都是正整数。另可得：a的正约数的个数为（1＋1）（2＋1）…（n＋1）⑴算术基本定理：任何一个大于1的整数都可以分解成质数的乘积。如果不考虑这些质因子的次序，则这种分解法是唯一的。⑵设n是大于2的整数，如果不大于　的质数都不是n的因子，则n是质数。4、设S＝{1,2,…,2005}.若S中任意n个两两互质的数组成的集合中都至少有一个质数，试求n的最小值.（2005年西部奥林匹克）解:首先,我们有n≥16。事实上,取集合A0＝{1,22,32,52,…,412,432}，则　　　

7、,

8、A0

9、＝15,A0中任意两数互质,但其中无质数,这表明n≥16.其次,我们证明:对任意　　，n＝

10、A

11、＝16，A中任两数互质,则A中必存在一个质数.利用反证法,假设A中无质数.记A＝{a1,a2,…,a16}，分两种情况讨论.则a1≥p12≥22，a2≥p22≥32，…，a15≥p152≥472＞2005,矛盾.⑴若　　,则a1,a2,…,a16均为合数,又因为(ai,aj)＝1(1≤i＜j≤16),所以ai与aj的质因数均不相同,设ai的最小质因数为pi,不妨设p1＜p2＜…＜p16,由(

12、1),(2)知,反设不成立,从而A中必有质数,即n＝

13、A

14、＝16时结论成立.⑵若1∈A,则不妨设a16＝1，a1,a2,…,a15均为合数,同(1)所设,同理有a1≥p12≥22，a2≥p22≥32，…，a15≥p152≥472＞2005,矛盾.综上,所求的n最小值为16.5、证明：对所有的非负整数n，＋1至少是2n＋3个质数（不一定互不相同）的乘积。（2007第36届美国数学奥林匹克）证明：⑴当n＝0时，　＋1＝8＝23，结论成立⑵假设当n＝k时结论成立，即　＋1至少是2k＋3个质数的乘积，当