浅谈初等数论

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1、西华师范大学数学与信息学院初等数论学科论文报告数学与信息学院09级4班王佳学号：20090814043812月21日浅谈《初等数论》的教与学在此主要谈论的是数论的理论概述，丿力史发展，初等数论内容。理论概述:初等数论是研究数的规律，特别是整数性质的数学分支。它是数论的一个最古老的分支。它以算术方法为主要研究方法，主要内容有整数的整除理论,同余理论，连分数理论和某些特殊不定方程。换言之，初等数论就是用初等、朴素的方法去研究数论。另外还有解析数轮（用解析的方法研究数论。）、代数数论（用代数结构的方法研究数论）。历史发展：古希腊毕达哥拉斯是初等数论

2、的先驱。他与他的学派致力于一些特殊整数（如亲和数、完全数、多边形数）及特殊不定方程的研究。公元前4世纪，欧儿里徳的《儿何原本》通过102个命题，初步建立了整数的整除理论。他关于“索数右无穷多个”的证明，被认为是数学证明的典范。初等数论已经有2000年的丿力史，公元前300年，欧几里得发现了素数是数论的基石，他自己证明了有无穷多个素数。公元前250年古希腊数学家埃拉托塞尼发明了一种筛法。2000年来，数论学的一个最重要的任务，就是寻找一个可以表示所冇索数的统一公式，或者称为索普遍公式,为此，人类耗费了巨大的心血。後来发现埃拉托塞尼筛法可以转换成

3、为一个素数产生的公式。公元3世纪，丢番图研究了若干不定方程,并分别设计巧妙解法，故后人称不定方程为丢番图方程。17世纪以來，P.de费马、L•欧拉、C.F•高斯等人的工作大大丰富和发展了初等数论的内容。古代中国公元3世纪，丢番图研究了若干不定方程，并分别设计巧妙解法，故后人称不定方程为丢番图方程。17W纪以來，P.de费马、L.欧拉、C.F.高斯等人的工作大大丰富和发展了初等数论的内容。古代中国中国古代对初等数论的研究有着光辉的成就，《周髀算经》、《迩了算经》、《张邱建算经》、《数书九章》等古文献上都有记载。孙子定理比欧洲早500年，西方常称

4、此定理为中国剩余定理，秦九韶的大衍求一术也驰名世界。初等数论不仅是研究纯数学的基础，也是许多学科的重要工具。它的应用是多方而的，如计算机科学、组合数学、密码学、信息论等。如公开密钥体制的提出是数论在密码学中的重要应用。初等数论内容：在教材中主要讲述的是第一章整除第二章不定方程第二章同余第四章同余方程第五章指数与原根第六章不定方程第七章连分数第八章素数分布的初等结果第九章数论函数重点介绍第一章整除整除冃录整除的定义整除的性质整除的概念整除的规律举例整除的定义整除：若整数“a”除以大于0的整数“b”，商为整数，且余数为零。我们就说a能被b整除（或

5、说b能整除a）,记作b

6、a,读作“b-整除a”或“a能被b整除”.它与除尽既有区别乂有联系.除尽是指数a除以数b（bMO）所得的商是整数或有限小数而余数是零时，我们就说a能被b除尽（或说b能除尽a）.因此整除与除尽的区别是，整除只有当被除数、除数以及商都是整数，而余数是零.除尽并不局限于整数范围内，被除数、除数以及商可以是整数，也可以是有限小数，只要余数是零就可以了•它们Z间的联系就是整除是除尽的特殊情况.整除的性质（1）如果a与b都能被c整除，那么a+b与a・b也能被c整除.（2）如果a能被b整除，c是任意整数，那么积ac也能被b整除.（3

7、）如果a同时被b与c整除，并H.b与c±i质,那么a—定能被积be整除.反过來也成立.整除的概念整除有下列基木性质：①若aIb,aIc,则aIb±c。②若aIb,则对任意c（0除外），aIbe。③对任意a,±1Ia,±aIa。④若aIb,bIa,则丨aI=IbIo对任意整数a,b,b>0,存在唯一的整数q,r,使a=bq+r,其中0

8、若a,b的蝕大公因数等于1,则称a,b互素。累次利用带余除法可以求出a,b的最大公因数，这种方法常称为辗转相除法。乂称欧儿里得算法。整除规则第一条整除规则第二条整除规则第三条除。整除规则第四条整除规则第五条整除规则第六条整除。整除规则笫七条整除的规律（1）:任何数都能被1整除。（2）:个位上是2、4、6、8、0的数都能被2整除。（3）:每一位上数字之和能被3整除，那么这个数就能被3整（4）:最后两位能被4整除的数，这个数就能被4整除。（5）:个位上是0或5的数都能被5整除。（6）:一个数只要能同吋被2和3整除，那么这个数就能被6（7）:把个位

9、数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍,差是7的倍数，则原数能被7整除。整除规则第八条（8）:最后三位能被8整除的数，这个数就能被8整除。整除规则第九条（9）: