浅谈导数在研究函数性态中的作用 毕业论文.doc.doc

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1、浅谈导数在研究函数性态中的作用摘要：导数在解决函数问题上提供了有力的工具，对导数在解决函数问题中的作用进行阐述：可导函数的单调性、函数的极值与最值、函数的凹凸性、函数的渐近线和描绘函数的图像．并研究函数的单调性、极值与最值、凹凸性和渐近线，并附上例题说明．关键字：导数单调性极值与最值凹凸性0引言历史上数学思想的突破点是数学历史发展的重大转史的发展历程，因此在教学中，学生自然会提出的一系列问题：“导数”概念是怎样得出的？“趋近于”怎样理解?要弄清这些问题，只有翻开数学史，从哲学的角度认识导数，这样不仅能帮助

2、我们搞清楚导数的概念，有助于建立正确的数学观念.1主要内容(1）函数的单调性高中阶段，我们对函数单调性的定义如下：定义：已知函数，定义域为，如果,那么且．那么(1)当，就称函数在区间上为单调递减函数；(2)当，就称函数在区间上为单调递增函数．（1.1）单调性的判别方法定理1如果函数在上连续，内可导，那么（1）若在内，，则函数在上单调递增；（2）若在内，，则函数在上单调递减.定理2若函数在内可导，则函数在内单调．（1）在内，，则函数在上单调递增；（2）函数在内严格递减，那么，有；在内的任何子区间上不恒等于零

3、．9推论设函数在内可导，若（），则在内严格递增（严格递减）．注意：本推论只是严格单调的充分条件。如在R上是严格单调的，但并不是在R上不恒大于零的，有．因此允许个别离散型的点时的．满足方程的点为函数的稳定点（又称驻点）．（1.2）单调区间的划分（1）函数单调区间的分界点可能是：驻点或者不可导点．（2）求单调区间的步骤：先求出函数的定义域；再求出可能的分界点：驻点或不可导点；用上面的分界点将定义域分成若干小区间；最后判断在每个小区间上的符号来判断单调区间．（1.3）例题例1判定函数的单调性分析：先判断函数的定

4、义域，再判定一阶导为0的点或导数不存在的点将定义域划为几个区间，然后分别确定在这些区间上的单调性．解法一：（用定义求）由题可知函数的定义域为，令且有又1，且，有，.由．结合函数和函数在同一坐标下的图像得知，当时，，，即函数在上单调递增；当时，，，即函数在上单调递减．解法二：函数的定义域为，在定义域上连续，可导，且．令，即．因为在<0，所以函数在上单调递减；在内>0，所以函数在上单调递增．相比较而言，用导数求函数的单调性就能更加的简便和通用.（2）函数的极值、最值（2.1）极值的概念：设函数在区间上有定义若

5、，且存在的某领域9，有则称为的极大值点（极小值点）．为的极大值（极小值）．极大值点和极小值点统称为函数的极值点极大值与极小值统称为极值．若函数的最大（小）值点在区间内，则必定为的极大（小）值点．又若在可导，在还是一个稳定点．所以我们只需比较在所有稳定点、不可导点和区间断电上的函数值，就能从中找到在上的最大值与最小值．最大值与最小值统称为函数的最值．（2.2）极值存在的条件费马定理若函数在可导，且为的极值点，则=0．定理3（极值的第一充分条件）设在点连续，在某领域内可导．（i）若当则在点取得极小值．（ii)

6、,则在点取极大值．定理4（极值的第二充分条件）设在点的某领域内一阶可导，在处二阶可导，且（i)若>0，则在取极大值．（ii）若<0，则在取得极小值．定理5（极值的第三充分条件）设在点的某领域内存在知道阶导函数，在处阶可导，且，则：（i)当为偶数时，在取极值，且<0时取极大值，>0时取极小值．（ii）当为奇数时，在处不取极值．9（2.3）闭区间上连续函数的最值求法　　　闭区间上连续函数的最值求法：将闭区间上连续函数的最值的求法推广为开区间、半开区间(包括无穷区间)即任意区间的连续函数最值的判定和求法。其方法

7、就是把函数的驻点、不可导的点、闭端点的函数值中的最大(最小)值与开端点的单侧极限值比较,达到最大(最小),就是函数的最大(最小)值;否则函数就没有最大(最小)值．（2.4）例题例2求函数││在闭区间[]上的最大值与最小值．解函数在闭区间[]上连续，故存在最大最小值．由于││││，，；因此，，；求出导数的不稳定点以及端点的函数值所以函数在处取得最小值，在处取得最大值132．（3）函数的凹凸性（3.1）概念：定义1设函数在区间内有定义，且连续。如果对于区间内任意两点，总有　　　　<，那么，称函数在区间上的图像

8、是（向上）凹的（或凹弧）；如果总有>，9那么，称函数在区间上的图像是（向上）凸的（或凸弧）．注若是曲线的一个拐点，在点的导数不一定存在，如在的情形．定义2设函数在区间内有定义，若对上的任意两点和任意实数总有则称为上的凸函数。反之，如果总有则称为上的凹函数．定义连续的曲线上凸弧段与凹弧段的分界点称为该曲线的拐点．(3.2)函数凹凸性判定定理定理6设函数在区间I内可导，如果在区间I内单调增加（或单调减少），那么函数在区间上的图像是