阿蒂亚《交换代数引论》部分习题解答

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1、阿蒂亚《交换代数引论》部分习题解答苏剑林,http://kexue.fm2017年7⽉2⽇目录1环和理想71.2设A是环,⽽A[x]是系数属于A的⼀个未定元x的多项式环，令f=a0+a1x+


+axn2A[x]，证明：......................................7n1.2.1f是A[x]中可逆元,a0是A中可逆元，⽽a1;:::;an是幂零元；.......71.2.2f幂零,a0;a1;:::;an幂零；...........................

2、.81.2.3f是零因⼦,存在着环A的⾮0元a使得af=0；...............81.2.4如果(a0;a1;:::;an)=(1)，f就叫本原多项式。证明，如果f;g2A[x]，那么fg本原,f和g皆本原。................................8∑11.5设A是环，A[[x]]是系数在A中的形式幂级数f=axn所组成的环,证明：....9nn=01.5.1f是A[[x]]中可逆元,a0是A中可逆元；.....................91.5.2如果f

3、幂零,那么对⼀切n0，an都幂，逆命题是否成⽴？...........101.5.3f属于环A[[x]]的⼤根,a0属于环A的⼤根；..................101.5.4环A[[x]]中任⼀极⼤理想m对A的局限理想都是A中的极⼤理想，⽽m由mc和x⽣成；.......................................101.5.5A中任⼀素理想都是A[[x]]中⼀个素理想的局限理想。..............111.7设环A中任⼀元素x都适合xn=x对某个n>1（⽽

4、n依赖于x）。证明A中任⼀素理想都极⼤。..........................................111.10设A是环，N是它的⼩根，证明下列诸断⾔等价:i)A恰好只有⼀个素理想；ii)A中任⼀元素或者是可逆元,或者是幂零元；iii)A/N是域。...................111.10.1..............................................111.10.2.................................

5、.............111.10.3..............................................111.14⽤表环A中完全由零因⼦组成的理想的全体所组成的集合，证明：..........111.14.1有⼀个极⼤元；...................................111.14.2的每个极⼤元都是素理想；.............................121.14.3A中零因⼦的集合是素理想的并。.............

6、.............121目录22模132.2设A是⼀个环，a是A的理想，M是⼀个A-模，证明模A/aAM与M/aM同构。132.3A是个局部环，M和N是有限⽣成的A-模，证明，如果MN=0，那么M=0或者N=0。...........................................132.6对任意A-模M，⽤M[x]表x的系数属于M的多项式，即形状如m0+m1x+


+mxr(m2M)的表达式的全体所成的集合。⽤显然的⽅式来定义A[x]的元素与M[x]ri的元素的乘积，

7、证明：.....................................142.6.1M[x]成为⼀个A[x]-模；...............................142.6.2M[x]=A[x]AM。..................................142.7设p是A中的素理想。证明p[x]是A[x]中的素理想，如果m是A中的极⼤理想，m[x]是不是A[x]中的极⼤理想？.................................142.88..

8、...............................................142.8.1如果M和N都是平坦A-模，那么MAN也是平坦的；............142.8.2如果B是平坦A-代数，⽽N是平坦B-模，那么N也是平坦A-模。......152.9设0!M′!M!M′′!0是A-模的正合序列。如果M′和M′′都是有限⽣成的，那么M也是有限⽣成的。....................................152.11设A是⾮0环。证明：.........