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1、立体几何问题de向量解法宋育科一.预备知识数量积与向量积：=()i-()j+()k=()注：两条相交直线的方向向量分别是则由这两条直线确定的平面法向量是例1.求的数量积和向量积解：=()i-()j10-3-15+1+()k9-2=7i+14j+7k=(7,14,7)二.夹角(1)直线与直线：当两直线垂直；当两直线平行(2)平面与平面：当两平面垂直；当(3)直线与平面：当线面垂直当线面平行；两平面平行C1B1A1D1CBADxyz例2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中求证：平面A1BD//平面CB1D1证明：以Ｂ1为原点建立如图坐标
2、系（棱长为1），则A1(0,1,0),B(0,0,1)D(1,1,1),C(1,0,1),B1(0,0,0),D1(1,1,0),从而BD=(1,1,0),BA1=(0,1,-1),B1C=(1,0,1),B1D1=(1,1,0)设平面Ａ1BD和平面CB1D1的法向量分别为n1,n2ijkn1=110=(-1,1,1)01-1ijkn1=101=(-1,1,1)110因为n1=1·n2，所以平面A1BD//平面CB1D1例3.已知三棱柱ABC-A1B1C1中
3、AB
4、=
5、AC
6、，∠A1AB=∠A1AC，求证：A1A⊥BC.A1B1ABC
7、abc分析：如图所示,欲证AA1⊥BC，只须证AA1·BC=0即可.证明：设A1A=a,AB=b,AC=c由已知条件得:
8、b
9、=
10、c
11、,,∵AA1·BC=a·(c-b)=a·c-a·b=
12、a
13、
14、c
15、cos-
16、a
17、
18、b
19、cos=0C1∴AA1⊥BC，即AA1⊥BCPABCEFGH例4.已知空间四边形PABC中,PA=PB,CA=CB证明:(1)∵PA=PB，CA=CB，PC=PC，∴△BPC≌△APC，∴∠BPC=∠APC从而,PC·BA=PC·(PA-PB)=PC·PA-PC·PB=0.所以，P
20、C⊥AB.求证:⑴PC⊥AB；(2)PC=AB,E,F,G,H分别是PA,PB,BC,CA的中点,则GE⊥FH.(2)∵E,F,G,H分别是PA,PB,BC,CA的中点，∴EF=1/2AB，HG=1/2AB.∴EF=HG，从而，EFGH是平行四边形又GE·FH=(GH+GF)·(GH-GF)=(1/2AB+1/2PC)·(1/2AB-1/2PC)=1/4(AB^2-PC^2)=0∴GE⊥FH,∴GE⊥FHAOBCO`A`B`C`EF例5.（上海2001年高考题）棱长为a的正方体OABC-O`A`B`C`中,E,F分别是棱AB，BC上的
21、动点,且AE=BF.求证：A`F⊥C`E.证明：建立如图所示坐标系.则A`(a,o,a)C`(o,a,a)设AE=b,则E(a,b,o),(a-b,a,o)∴A`F=(-b,a,-a),C`E=(a,b-a,-a)∴A`F·C`E=(-b,a,-a)·(a,b-a,-a)=-ab+ab-a^2+a^2=0∴A`F⊥C`E，即`A`F⊥C`E.ABCA`B`C`例6.正三棱柱ABC-A`B`C`中若AB`⊥BC`求证：AB`⊥A`C证明：设AB=a,aAC=b,bAA`=c.则a·c=0,b·c=0,a·b=1/2
22、a^2
23、又∵AB`=
24、a+c,BC`=BC+CC`=b-a+ccc∴AB`·BC`=(a+c)·(b-a+c)=a·b-
25、a
26、^2+a·c+b·c-c·a+
27、c
28、^2=1/2
29、a^2
30、-
31、a
32、^2+
33、c
34、^2=0∴
35、c
36、^2=1/2
37、a
38、^2∴AB`·A`C=(a+c)(b-c)=ab+cb-ca-
39、c
40、^2=1/2
41、a
42、^2-
43、c
44、^2=0∴AB`⊥A`C，即AB`⊥A`C.例7.正四面体O-ABC中,OABCE、F分别是AB、OC的中点.EF求OE与BF所成的角.解：设正四面体棱长为1,令:OA=a,OB=b,OC=c,则abca·b=b·c=a·b=
45、OE=1/2(a+b),BF=(1/2)c-bOE·BF=½½(a+b)(½c-b)=½·(½a·c+½b·c-a·c-
46、b
47、^2)=½(¼+¼-½-1)=-½∴cos=OE·BF
48、OE
49、·
50、BF
51、=-½=-2/3即OE与BF所成锐角为arccos2/3例8.正四面体O-ABC中OABCF是OC的中点.F求BF与面ABC所成的角.解：设棱长为1，以AB为x轴xyz建立直角坐标系.则从而，又显然设直线与平面的夹角是则例9.（2001全国高考题）在底面为直角梯形的四棱锥S-ABCD中,∠ABC=90°SA⊥平面ABCD，SA
52、=AB=CB=1,AD=1/2,求平面SCD和平面SAB所成二面角的平面角.SABCD解：以AD为ｘ轴建立直解坐标系，ＸＹＺS(0,0,1),D(1/2,0,0),C(1,1,0),SD=(1/2,0,-1),SC=(1
