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1、Vol16,No11高等数学研究Mar.,2003STUDIESINCOLLEGEMATHEMATICS11流体的体胀速度、散度及X高斯公式的物理意义曲小钢(西安建筑科技大学理学院 西安 710055)在高斯公式5P5Q5Rm(++)dv=lPdydz+Qdzdx+Rdxdy(1)5x5y5z8∑中,∑是空间区域8的边界面,P,Q,R是在8上有定义且具有连续偏导数的函数,公式右端的曲面积分沿闭曲面∑之外侧进行。在该公式中,若视dxdydzv={,,}={P,Q,R}dtdtdt为一稳定流动的不可压
2、缩流体(假定密度为1)的速度场,这里,“稳定流动”是指流体的流速与时间t无关,“不可压缩”是指流体的密度为常数。在一般教材中,都已对公式右端的曲面积分作出了物理解释,即“单位时间内经闭曲面∑流出的流体的质量”,或流量,但却未能对整个公式的物理意义作出完整的说明。本文将直接由流体力学推导出高斯公式,并对其物理意义作出解释。这需先了解流体力学中的一个基本概念——体胀速度。在流场中取一体积为V的微元(称作流点)。当该流点流动时,其单位体积的体积变化率(相对于时间t)称作体胀速度(therelativet
3、imerateofexpansion),记作E,即1dVE=lim(2)V→0Vdt 体胀速度是流点体积膨胀或收缩的速度,E>0表示该点有流体产生,犹如泉水的源头,故在流体力学中称作源(source);反之,E<0时称作汇(或沟,sink)。按照这一意义,如果在流体内取有限大小的流体块8,并将E沿8积分,那么,mEdv(3)8就是8内的源在单位时间内产生的流体的质量。由于我们假定流体是不可压缩的,且流动是稳定的,因此,按照质量守恒定律,这一流体质量必然等于单位时间内经8之表面∑流出的流量,即有m
4、Edv=lPdydz+Qdzdx+Rdxdy(4)8∑ 下面给出体胀速度E的计算公式并说明等式(4)其实就是高斯公式。在(2)式中将流点取为边长为$x,$y和$z的长方体(图1),则V=$x$y$z,1dV1d($x$y$z)1d($x)1d($y)1d($z)==++Vdt$x$y$zdt$xdt$ydt$zdtX收稿日期:2002212201 高等数学研究 122003年3月d 在上式中,导数运算是关于时间变量的,而差分$
5、dt运算则是关于空间变量的,二者的运算顺序可以交换。交换导数运算与差分运算的运算顺序并注意到dxdydz=P,=Q,=R,dtdtdt就有1dV$P$Q$R=++Vdt$x$y$z 令$x→0,$y→0,$z→0(即V→0),就得到体胀速度图1 流体微元的计算公式1dV$P$Q$RE=lim=lim(++),V→0Vdt$x→0$x$y$z$y→0$z→0即5P5Q5RE=++(5)5x5y5z 将所得计算公式(5)代入(4)式,即是高斯公式(1)。所以,高斯公式的物理意义为:流体块内的源在单
6、位时间内产生的流体质量等于单位时间内经流体块的表面流出的流体质量。体胀速度E的计算公式(5)也可按下述方法推导。设一质点当t=t0时位于流体内(x0,y0,z0)处,随流体流动,该质点的运动轨迹可以用方程组x=x(x0,y0,z0,t),y=y(x0,y0,z0,t),z=z(x0,y0,z0,t)(6)描述。(6)式称为点(x,y,z)的Lagrange坐标。如果一流体块在t=t0时占据的区域为80,t时刻占据的区域为8,体积为V,那么V=mdxdydz(7)8dV 因为区域8随时间t变化,而
7、80则不变,所以,为计算,需将上式右端的积分区域变换为dt80。由于8中每一点(x,y,z)都对应于80中一点(x0,y0,z0),所以,在(7)式的积分中作变量代换(6)。由重积分的换元公式,得V=mdxdydz=mJ(x0,y0,z0,t)dx0dy0dz0,(8)880其中J是变换(6)的Jacobi行列式5x5x5x5x05y05z05(x,y,z)5y5y5yJ(x0,y0,z0,t)==5(x0,y0,z0)5x05y05z05z5z5z5x05y05z0(8)式两端对t求导数,得dV
8、d5J(x0,y0,z0,t)=J(x0,y0,z0,t)dx0dy0dz0=mdx0dy0dz0(9)dtdtm5t8800上式中的偏导数可按行列式的微分运算法则求得第6卷第1期 曲小钢:流体的体胀速度、散度及高斯公式的物理意义 132225x5x5x5x5x5x5x5x5x5x05t5y05t5z05t5x05y05z05x05y05z02225J5y5y5y5y5y5y5y5y5y=++5t5x05y05z05x05t5y05t5z05t5x0
