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1、第10卷第2期2010年1月科学技术与工程Vol.10No.2Jan.20101671—1815(2010)2-0377-04ScienceTechnologyandEngineering2010Sci.Tech.Engng.向量理论在概率论中的应用张同琦李凤(渭南师范学院数学系,渭南714000)摘要通过在概率论中引入“零变量”概念,首次将向量空间理论应用于概率论的研究中,得到了同一样本空间Ψ上的全体随机变量所成的集合是一向量空间的结论,并且证明了两个随机变量ξ,η的协方差即是向量ξ,η的内积<ξ,η>,继而得出同一样本空间Ψ
2、上的全体随机变量所成集合成为一欧氏空间,从代数学的角度给予了概率论中的若干概念全新的解释。关键词随机变量零变量向量空间欧式空间中图法分类号O211.9;文献标志码A概率论和高等代数是数学学科的两个不同分[1,2]支,高等代数研究的主要对象是向量,而概率论1随机变量所成的向量空间[3,4]的研究对象是随机变量,传统意义上两门学科相对独立,甚少或没有交叉和关联。概率论的研究定义1服从退化分布的随机变量ε统称为零背景是现实生活中的随机现象,它广泛的应用于工变量,也叫零向量。[3,4]业、农业、军事和科学技术中,而向量理论在各定理1设F
3、为实数域,Ψ是一样本空间,U为[5,6]个学科中也有广泛的应用。针对概率论和向量Ψ上全体随机变量为元素所成的集合,则U是F上理论之间是否有关联问题,通过提出“零变量”的概一向量空间。念,首次将高等代数中的向量空间理论应用于概率证明(1)设ε,η∈U,定义ε与η相加之和论的研究中,得出一些有意义的结果。讨论了随机为ζ,记为ζ=ε+η,对任一ω∈Ψ,若ε(ω)=变量所成的向量空间,得出了n个相互独立的随机a,η(ω)=b,则ζ(ω)=a+b。变量ε1,ε2,···,εn,与一定向量无关;证明了两个(2)设a∈F,ε∈U,数a乘ε记为
4、ζ=aε,随机变量ξ,η的协方差,即是向量ξ,η的内积<ξ,对任一ω∈Ψ,ε(ω)=c,则ζ(ω)=aε(ω)=ac。η>,得出同一样本空间Ψ上的全体随机变量所成(3)我们容易验证它满足于向量空间的八个条集合成为一欧氏空间:最后应用高等代数中有关欧件:1)ε+η=η+ε;氏空间理论,说明了概率论中若干定理是不证自明2)(ε+η)+ζ=ε+(η+ζ);的事实。3)在U中存在一个零向量,记做0,它具有以下性质:对于U中每一个向量ε,都有0+ε=ε;4)对于U中每一向量ε,在U中存在一个向量η,使得ε+η=0,这样的η叫做ε的负向量;
5、5)a(ε+η)=aε+aη;2009年10月16日收到陕西省教育厅科学基金(08JK288)、6)(a+b)ε=aε+bε;渭南师范学院科研基金(08YKZ0831)资助7)(ab)ε=a(bε);第一作者简介:张同琦(1964—),男,教授,研究方向:概率论与数理8)1ε=ε。统计。E-mail:lifeng5849@163.com。378科学技术与工程10卷2对于这里定义的“零变量”和负向量,用同样的所以η～N(ka,(kσ))即对数乘封闭,所以W是V方法可证明高等代数中的以下两个命题。一子空间,证毕。命题1在有随机变量所
6、成的的向量空间U定义3设W是随机变量所成的向量空间U的′中,零向量是唯一的;对于U中的每一向量ξ,ξ负一个子空间,U的子空间W,叫做W的一个余子空′′向量由ξ唯一确定。间,如果(i)U=W+W;(ii)W∩W={0}。在这′命题2对于任意向量ξ和实数域F中任意数一情形下,就说U是子空间W与W的直和,记作U′′a,我们有aξ=0a=0或ξ=0,0ξ=0,a0=0,=WW;如果W是W的一个余子空间,那么W′a(-ξ)=(-a)ξ=-aξ。也是W的一个余子空间。定义2(子空间)令U为随机变量所成的向量显然,由文献[1,2]可得:′空间
7、,V是U的一个非空子集,如果V对于U的加法定理3若随机向量空间U是子空间W与W及数乘封闭,就称V是U的一个子空间。的直和,那么U中的任一个随机向量ε可以唯一的′′′定理2设W是样本空间Ψ上全体服从一维表示成ε=η+η,η∈W,η∈W。′′′正态分布的随机变量所成集合(若ε,η不独立,则证明显然ε=η+η,η∈W,η∈W,如果′′′(ε,η)服从二维正态分布),则W是U的一个子ε还可以表示成ε=η1+η1,η1∈W,η1∈W;那空间。′′′′么η+η=η1+η1或η-η1=η1-η,最后等式证明若ε,η独立,则已知ε+η服从正态′
8、左端的向量属于W,而右端的向量属于W。由于分布。′′′W∩W={0},所以η-η1=0,η1-η=0即η=若ε,η不独立,′′η1,η=η1。1-1(x2-2rxy+y2)(ε,η)～f(x,y)=e2(1-r2)。由定理3,很容易得到。22π1-r定理4同一样
