数学建模相关性分析

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1、数学建模与软件实现第7章相关性分析相关性分析是指分析两个随机变量之间是否存在一定的关系.相关分析可以发现变量间的共变关系（包括正向的和负向的共变关系），一旦发现了共变关系就意味着变量间可能存在两种关系中的一种：（1）因果关系(两个变量中一个为因、另一个为果);（2）存在公共因子（两变量均为果，有潜在的共因）.很多时候，我们需要寻找这些因果关系，或者是寻找公共因子.相关性研究是非常有用的，它是许多深入研究必备的初始阶段工作.衡量随机变量相关性的度量主要有三种：pearson相关系数、spearman相关系数、

2、kendall相关系数.7.1Pearson（皮尔逊）相关系数—线形相关分析对于二维随机变量(,)XY，根据数学期望性质，若X和Y相互独立，且EX和EY存在，则有EX[(EXY)(EY)]EXY()EXEY0所以当EXEXYEY[()()]0时，必有X和Y不相互独立.定义7-1设(,)XY为二维随机变量，称EXEXYEY[()()]为随机变量X，Y的协方差（Covariance），记为CovXY(,)，即CovXY(,)[(EXEXY)(EY)]特别地CovXX(,)EX[()

3、EX()XEX]DXCovYY(,)EY[(EYY)(EY)]DY故方差DX，DY是协方差的特例.从定义中看到，协方差和变量的量纲有关.我们将随机变量标准化，得*XEX*YEYX，YDXDY**CXov(,)Y(,)XY的协方差为.DXDY()()CXov(,)Y定义7-2设(,)XY为二维随机变量，称为随机变量X，Y的Pearson相关系DXDY()()数（Pearsoncorrelationcoefficient）或标准协方差（Standardcovariance），记为，即XY

4、CXov(,)YXYDXDY()()定理7-1设DX()0，DY()0，为(,XY)的相关系数，则XY（1）如果X，Y相互独立，则0；XY（2）1；XY（3）1的充要条件是存在常数ab,使PYaXb{}1(0a).XY相关系数描述了随机变量X，Y的线性相关程度，愈接近1，则X与Y之间愈接XYXY近线性关系.0为正相关，0为负相关.XYXY一般用下列标准对相互关系进行判定:（1）0.95，X与Y存在显著性相关；XY（2）0.8，X与Y高度相关；XY（3）0.5

5、0.8，X与Y中度相关；XY（4）0.30.5，X与Y低度相关；XY（5）0.3，X与Y关系极弱，认为不相关；XY（6）0，X与Y无显性相关.XY12第7章相关性分析可以证明:（1）当两个随机变量不线性相关时，它们并不一定相互独立，它们之间还可能存在其他的函数关系.（2）若(,)XY服从二维正态分布，X与Y不相关和X与Y相互独立是等价的，且概率密度中的参数就是X和Y的相关系数.即,X和Y相互独立的充要条件是0.定义7-3若对随机变量X和Y进行了次随机试验n,得到样本(,XY)(1i

6、n,2,,),且iinn11XXi,YYi,则随机变量X和Y对于这组样本的相关系数r为ni1ni1n()XXYYii()i1rnn22()(XiiXYY)ii11例7-1某地29名13岁男童身高（cm）、体重（kg）和肺活量（ml）的数据如下表，试对该资料中各因素做相关分析.表7-1测试数据编号身高（cm）体重(kg)肺活量(ml)编号身高（cm）体重(kg)肺活量(ml)1135.132.0175016153.047.223502139.930.4200017147.

7、640.520003163.646.2215018157.543.322504146.533.5250019155.144.727505156.237.1275020160.537.524006156.435.5200021143.031.517507167.841.5215022149.433.922508149.731.0150023160.840.427509145.033.0250024159.038.5250010148.537.2225025158.237.5200011165.549.5300

8、026150.036.0175012135.027.6125027144.534.7225013153.341.0275028154.639.5250014152.032.0175029156.532.0175015160.547.22250解（1）数据探索先做散点图和Q-Q图，看到变量间基本符合线性相关关系，变量的分布符合正态分布.这里只给出肺活量和身高的散点图、身高的标准Q-Q图，其余略.数学建模与软件实现图