基于序列cgr图形的小波多重分形分析及应用

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1、具有多分辨率(也叫多尺度)的特点，可以由粗及细地逐步观察信号。现代小波分析是自1986年以来由YMeyer、S．Mallt及I．Daubechies等人的奠基工作而迅速发展起来的--f7新兴科学。1909年，Haar找到了在【0，l】区间上平方可积函数的一个正交基，从而打开了通向现代小波分析的道路。1920年，Faber和Schauder得到了该正交基函数的原函数——Schauder基。之后I．ave得到了用Schauder展开的系数估计Brownain运动Holder正则性的定理。1927年Franklin将S

2、chauder基用CramSchmidt正交化，建立了正交基。1930年，为了确定函数的能量，Littlewood与Paler把函数的Fourier级数展开的部分和定义为“二进块"，形成了可以估计能量的新的函数表示。之后Zygmund将周期情形拓展到n维欧氏空间，产生了真正的小波。在1960年Galderon的Galderon恒等式给出“原子分解"的小波分析途径后，1980年Grossman与Modet重新研究了Galderon恒等式，才有了现代小波分析的雏形，进而使这个学科得到了飞速的发展，进入了现代小波分析。

3、之后各个领域的专家、学者和工程师纷纷巧妙地构造自己的“小波"，直到YMeyer成功构造出具有一定衰减性质的光滑函数，其二进伸缩和整数平移产生的函数组构成空间的规范正交基，引起了广泛关注。随后，YMeyer和S．Mallat提出了多分辨分析的思想，S．Mallat又给出了小波分解与重构信号的快速算法一塔式算法(即Mallat算法)成功给小波分析搭成了一个理论架构。I．Daubechies基于代数多项式构造出了具有紧支撑的正交小波基，崔锦泰和王建忠给予基数样条构造出了半正交小波f161。到目前为止，各种小波变换理论已

4、成功地应用于数学、物理、信息获取与处理等领域的方方面面，尤其在信息安全研究中取得重要进展，如数字水印、信息隐藏、信息加密与解密等【171。§1．3．2小波变换方法计算多重分形谱的优点传统方法计算多重分形存在许多问题：计算误差比较大，难以精确计算有限长离散数据的多重分形谱【411，统计意义结果无法刻画复杂分形的局域细微性质和动力学特征；另外，多重分形面各分维之间的分界频率难以给出确切定量表达，应用中很难精确界定各分维区域，因此多重分形面的研究一直滞留在瓶颈阶段，对于各向异性的多重分形面的微观几何特征的研究则更不能开

5、展下去而基因组9序列的CGR图形也正是一个各向异性的多重分形面。小波分析可通过尺度变化，在越来越小的尺度上观测到越来越丰富的细节，在揭示尺度和空间不变性方面具有独特的优点，而分形的本质也具有这两方面的特征。因此，用小波方法计算多重分形具有以下优势：l、在小波域建模更能拟合长程相关性。小波分析的优势在于与序列是否存在周期无关：具有很好的鲁棒性，结果不会与非平稳的具有短程依赖性过程混淆。2、小波可表示奇异性过程的特点。只要定义基于小波系数矩的配分函数，就能给出有限长离散数据序列多重分形谱估计方法。另外，小波变换方法可

6、给出多分形参数和信号的多层次多尺度空间结构，在精度上优于传统方法。3、小波变换分析有既反映信号在变换域特性又保留其时域信息的特点。通过伸缩和平移运算对函数或信号进行多尺度细化分析，能对奇异信号的多重分形特性进行空间．尺度的精细描述，从而得到有关分形目标的奇异性分布和内在动力信息。而小波窗口大小的自适应性，特别是最佳小波包基分解的应用，是同时获取复杂分形体在构造．谱双域的最理想分辨率，得到其内部精细结构的完整描述成为可能。适当选择小波函数还能消除分析信号中平滑部分的影响，不掩盖信号的局部奇异特征和干扰奇异性指数估计

7、。如今小波多重分形分析方法现已被广泛用于云层图像、地质结构、涡流、样品表面结构等分析中。10第二章基因组序列CGR图形的分形分析基因组序列的结构分析是生物信息学中的重要内容，其中的寡核苷酸片断(字)分布的相似性和差异性可以作为序列结构分析的一种有效方法【18,19]。Jeffrey提出的基于迭代函数的DNA序列CGR图形表示方法，将字的分布规律表现为图形的分形特征，通过分形分析获得字分布的统计分布规律，从而为基因组序列分析提供了一种统计方法。§2．1基因组序列的CGR图形§2．1．1基因组序列CGR图形的生成定义

8、CGR空间为一单位平面，组成基因组序列的四种核苷酸分别对应于各顶点：爿(0，0)、c(o，1)、G(1，1)、T(I，0)。对长度为Ⅳ的基因组序列，每一位都对应了平面中的一点，第，位在平面中对应点的确定方法为：CGRj=CGRi—l+0．5x(CGRj一1一gj)(i=l，⋯，三)(2—1)其中CGR。=(0．5，0．5)，g，为序列第f位核苷酸对应的顶点坐标。因此该序列