线性代数第二章习题及解答

《线性代数第二章习题及解答》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第二章练习题解答()()10301.设A=,B=,计算：2A,3B,A+B,2A−3B2−1123111112.设A=212,B=2−10,求AB−BA.1231021a11a12···a1n2a21a22···a2n3.计算...0.........an1an2···ann0()()()23102−34.已知A=PQ,其中P=,=,Q=,QP=E,计算120−1−12A8,A9,A2n,A2n+1,(n为正整数)解:An=PQPQ···PQ

2、{z}n=PnQ

3、PQ,n=2k=PQ,n=2k+1E,n=2k=7−12,n=2k+14−7()n()ncosφsinφ015.计算,及−sinφcosφ−10()2()()cosφsinφcosφsinφcosφsinφ解：=·−sinφcosφ−sinφcosφ−sinφcosφ()cos2φsin2φ=−sin2φcos2φ()n()cosφsinφcosnφsinnφ假定=−sinφcosφ−sinnφcosnφ()n+1()n()cosφsinφcosφsinφcosφsinφ=·−sinφcosφ−sinφcosφ−sinφcosφ()co

4、s(n+1)φsin(n+1)φ=−sin(n+1)φcos(n+1)φ1cos=0,sin=1,在上式中取φ=即的所要的结果.2226.对于任意n阶矩阵A.证明：(1)A+AT是对称矩阵，A−AT是反对称矩阵；(2)A可以表示成对称矩阵与反对称矩阵之和.证明：(1).(A+AT)T=AT+(AT)T=AT+A=A+AT,(A−AT)T=AT−A=−(A−AT)(2)A=1(A+AT)+1(A−AT)227.A是实对称矩阵，且A2=0,证明：A=0证明A2=AA=AAT(1)a2+···+a2∗···∗111n∗a2+···+a2···∗212n

5、=........(2)....∗∗···a2+···+a2n1nn由A2=0得到a2+a2+···+a2=0,i=1,2,...,n于是a=0那么A=0i1i2inij1100()122cosθsinθ01108.设A=,B=21−2,C=,分别求A−1,B−1−sinθcosθ00112−210001和C−1()cosθ−sinθ解:A−1=sinθcosθ122B−1=121−292−2121−11−101−11C−1=001−1000123−121111()

6、1−219.解矩阵方程120X=−10;10.解矩阵方程A011=.01−1−12−231001解：9.注意到AX=B,于是X=A−1B,我们仅对矩阵AB进行行初等变换将A变成单位矩阵E，于是B即为X23−121120−10−→−12−23110011/3010−1−1/6001−3−5/611/3于是X=−1−1/6−3−5/6()1−3310如法炮制恕不赘述其结果为A=01−211.设方阵A满足A2−A−2E=0,证明：(1)A和E−A都可逆，并求它们的逆矩阵；(2)A+E和A−2

7、E不同时可逆.证明：（1）A(A−E)=2E,那么−A(E−A)=E,于是A−1=−1(E−A),(E−A)−1=−A222(2)因为(A+E)(A−2E)=0,于是

8、A+E

9、·

10、A−2E

11、=0于是A+E与A−2E不会同时可逆.12.设A是m×n矩阵，B是n×s矩阵，X是n×1矩阵，证明：AB=0的充分必要条件是B的每一列都是齐次线性方程组AX=0的解.3证明：这是一个利用分块矩阵进行证明的命题(=⇒)因为AB=0令B=(b1b2···bs),于是Abj=0,j=1,2,...,s,即bj是AX=0的解.(⇐=)因为Abj=0,j=1,2,...,s于是AB=013.

12、用矩阵分块的方法，证明下列矩阵可逆，并求其逆矩阵：12000000442500000078A=00300,B=11100000100110000001001000a10···02010200a2···002013C=...........D=00100....000···an−100010an00···000001()()BOB−1O解：A=于是A−1=,其中OSOS−1()300()1/30012